Опр.: Будем говорить, что множество 
имеет 
-мерную меру ноль в смысле Лебега, если 
не более чем счётная система интервалов 
.
1) Точка является множеством меры ноль.
2) Объединение конечного, либо счётного числа множеств меры ноль есть множество меры ноль.
3) Подмножество множества меры ноль – множество меры ноль.
4) Невырожденный 
-мерный промежуток не является множеством меры ноль.
Опр.: Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется всюду, кроме быть может множества меры ноль.
Утв.: График непрерывной функции имеет 
-мерную меру ноль.
Если: 
То: 
Док-во:
равномерно непрерывна на 
Строим разбиение 
. Отмечаем точки разбиения 
.
Строим промежуток
.
Следствие:
Если: 
То: график 
на 
имеет 
-мерную меру ноль.(Т.к. 
)
Замечание:
- Если в определении меры ноль заменить замкнутые промежутки открытыми, то определение останется эквивалентным.
- Если
— компакт, то в определении можно заменить счётную систему конечной.
Th.: Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
|
|
|
