6.1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений:
(1)
В матрице А выберем отличный от нулю элемент 
. Этот элемент называется разрешающим элементом, p-ый столбец матрицы А – разрешающим столбцом, а q-ая строка – разрешающей.
Рассмотрим новую систему уравнений:
 |
(2)
с матрицей 
. коэффициенты и свободные члены этой системы определяются по формулам
если 
.
В частности 
, если 
Если же 
, то принимаем 
, 
. Таким образом q-е уравнение в системах (1) и (2) одинаково, а коэффициенты при 
во всех уравнениях системы (2), кроме q-го, равны нулю.
Следует иметь в виду, что системы (1) и (2) одновременно совместны или несовместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).
Для определения элемента 
матрицы 
полезно иметь в виду так называемое “правило прямоугольника”.
Рассмотрим 4 элемента матрицы А: 
(элемент, подлежащий преобразованию) 
(разрешающий элемент) и элементы 
и 
. Для нахождения элемента 
следует из элемента 
вычесть произведение элементов 
, расположенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент 
Аналогичным образом можно преобразовать систему (2) приняв за разрешающий элемент матрицы 
элемент 
, причем s 
q, 
После этого преобразования все коэффициенты при 
, кроме 
обратятся в нуль. Полученная система может быть снова преобразована и т.д. Если r = n (ранг системы равен числу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида
из которой находятся значения неизвестных.
Описанный метод решения, основанный на последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана-Гаусса.
Пример. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса
Запишем коэффициенты, свободные члены и суммы коэффициентов и свободных (
– контрольный столбец) членов в следующую таблицу
 |
 |
 |
 |
 |
| -2 | ||||
| -1 | -1 |
Возьмем за разрешающий элемент коэффициент при 
, в первом уравнение. Перепишем таблицу, где первая строка будет без изменения, а все элементы первого столбца будут равны нулю.
Применив правило прямоугольника, заполним остальные клетки.
 |
 |
 |
 |
 |
| -9 | -13 | -9 | -31 |
=4- 
= 22 
=5- 
= -31.
За разрешающий элемент возьмем коэффициент при 
во втором уравнении. Перепишем таблицу, где вторая строка будет без изменения, а элементы второго столбца будут равны нулю (кроме разрешающего элемента).
Остальные клетки заполним, применив правило прямоугольника.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|||
 |
—  |
. 
=-31- 
Первую и третью строку умножим на 7
 |
 |
 |
 |
 |
| -19 | -19 |
 |
 |
 |
 |
 |
| -19 | -19 |
За разрешающий элемент возьмем коэффициент при 
в третьем уравнении. Перепишем таблицу, где третья стока будет без изменения, элементы третьего столбца будут равны нулю, кроме разрешающего элемента.
Остальные клетки заполним, применив правило прямоугольника.
=22- 
Получим 
Отсюда 
– един. решение.
I:
S: Столбец неизвестных системы линейных уравнений это
-: 
-: 
-: 
-: 
I:
S: Столбец свободных коэффициентов системы линейных уравнений это
-: 
-: 
-: 
-: 
I:
S: Матрица вида 
системы линейных уравнений, состоящая из коэффициентов называется
-: матрицей системы
-: расширенной матрицей
-: определителем
-: столбцом неизвестных
I:
S: Решение системы 
есть
-: (-1 . 1 . -2)
-: (2 . 1 . 3)
-: (0 . 5 . 1)
-: (-2 . 0 . 0)
I:
S: Для определения элемента 
матрицы 
полезно иметь в виду
+: “правило прямоугольника”.
-: “правило треугольника”.
-: коэффициенты и свободные члены этой системы
-: свободные члены этой системы
I:
S: Методом Жордана-Гаусса коэффициенты и свободные члены системы определяются по формулам
+: 
и 
-: 
и 
-: 
и 
-: 
и 
I:
S: Элемент 
отличный от нулю называется
-: разрешающим элементом
-: свободным элементом
-: неизвестным элементом
-: нулевым элементом
