Лекция по математике на тему : Производная

 Производная степенной функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

·        разбор понятия производной степенной функции;

·        вычисление производной степенной функции;

·        знакомство с правилами вычисления производных одночлена имногочлена.

Глоссарий по теме

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ,где n – произвольное натуральное число, такова:

(xⁿ)  =nx^n-1

Формула для вычисления производной степенной функции (kx+b)^p:

((kx+b)^p)  =pk(kx+b)^p

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред.Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильныйуровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактическиематериалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильныйуровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ,где n – произвольное натуральное число, такова: (xⁿ)’=nx^n-1.

Нам уже известна формула производной функции х²: (x²)’=2x.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x³) = (x²·x) = (x²) · x + x² ·(x) = 2x·x+x²·1 = 3x²

(x⁴) = (x³·x) = (x³) ·x+x³·(x) = 3x²·x+x³·1= 4x³.

Заметим, что

(x²) = 2x^2-1

(x³) = 3x^3-1

(x⁴)’=4x^4-1

Т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжаяаналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n,равного 5, 6 и т.д.

Пример 1.

Докажем что, ,при .

Решение:

1.   представим  какх^-1

2.   воспользуемсяформулой (1): (х^-1)’=-1·x^-1-1=-x^-2

3.   вернемсяк первоначальному виду

.

В более сложных случаях, например, при нахождении производнойфункции (3х-1)⁷, можно воспользоваться следующейформулой:

((kx+b)^p)’=pk(kx+b)^p-1

Пример

Найдем производную функции (3х-1)⁷.

Решение:

воспользуемся формулой (2)

((3х-1)⁷)’=21(3x-1)⁶.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Вычислить f’(9), если .

Решение:

.

Пример 2

Доказать, что  напромежутке:

1.   x>0;

2.   x<0.

Доказательство:

1.   еслиx>0, то  ипо формуле (1) получаем:

.

1.   еслиx<0, то  ипо формуле (2) получаем:

.