Радианнаямера угла.
Отметим на оси Ох от началакоординат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. РадиусОА будем называть начальным радиусом.
Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описатькак получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом вточке О от положения ОМ — начального до положения ОЕ — конечного. Это вращениеможет происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке, причем
а) либо на неполный оборот,
б) либо на целое число полныхоборотов;
в) либо на целое число полныхоборотов и неполный оборот.
Меры углов, ориентированныхпротив часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки -отрицательными
Будем считать равными угламитакие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучейсовмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечномуосуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполныхоборотов вокруг точки О.
Нулевые углы считаютсяравными.
Свойства мер углов:
Существует угол, меракоторого равна 1 — единица измерения углов. Равные углы имеют равные меры. Мерасуммы двух углов равна сумме мер углов. Мера нулевого угла равна нулю.
Наиболее распространенныемеры углов — градусная и радианная.
Единицей измерения углов вградусной мере является угол величины в один градус — 1/180 часть развернутогоугла.
В качестве окружности сцентром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса,обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0),D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться лучОА.
Координатные оси абсцисс иординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатныечетверти: I, II, III, IV (см. рисунок).
В зависимости от того, вкакой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этойчетверти.
Так, если 00<α<900 , тоугол α – угол первой четверти;
Если 900<α<1800 , тоугол α – угол второй четверти;
Если 1800<α<2700 , тоугол α – угол третьей четверти;
Если 2700<α<3600 , тоугол α – угол четвертой четверти.
Очевидно, что при прибавлениик углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.
Например, угол 4300 являетсяуглом I – ой четверти, так как 4300 = 3600 + 700 = 700;
Угол 9200 является угломIII-ей четверти, так как 9200 = 3600 ·2 + 2000 = 2000
(т. е. число целых оборотовможно не учитывать!)
Углы 00, ±900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 – не относятся ни к какой четверти.
Давайте определим, угломкакой четверти является угол α, если:
α =2830 (IV) α = 1900 (III) α=1000 (II) α = -200 (IVч –отрицательное направление)
B курсе геометрии былиопределены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при 00 ≤ α ≤ 1800 .Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.
Пусть при повороте околоточки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.
Синусом углаα называется отношение ординаты точки М к длине радиуса, т. е. 
Косинусомугла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса, т. е. 
Тангенсомугла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе, т. е. 
Котангенсомугла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате, т. е. 
Рассмотрим примеры вычислениятригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочеркисделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.
|
α (град) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
2π |
|
|
sin α |
|
|
|
-1 |
||||
|
cos α |
|
Представленная информация была полезной? ДА 63.32% НЕТ 36.68% Проголосовало: 2110 |
|
-1 |
||||
|
tg α |
|
|
— |
— |
||||
|
ctg α |
— |
|
|
— |
— |
Пример №1.Найтиsin300; cos450; tg600.
Решение: а) находим встолбике таблицы sinα и в строчке 300, на пересечении столбца и строчки находимзначение sin 300- это число 
.Пишут так: sin 300 = 
б) находим в столбике таблицыcosα и в строчке 450, на пересечении столбца и строчки находим значение cos 450- это число 
.Пишут так: cos 450 = 
в) находим в столбике таблицыtgα и в строчке 600, на пересечении столбца и строчки находим значение tg 600-это число 
.Пишут так: tg 600 = 
.
Пример №2
Вычислитьа)2сos 600 + 
cos300 = 2· 
б)3tg 450 ·tg 600 =3·1· 
=3 
Вычислитесамостоятельно: а) 5sin 300 — ctg 450 б) 2sin 300 + 6cos 600 –4tg 450
в) 4tg600·sin 600 в) 2cossin 900 + 5tg 1800
— четная
– нечетная
— нечетная
– нечетная
Например:cos(- 400) = cos 400; sin= -sin 300 = — 
Отметим ещеодно свойство тригонометрических функций:
3
Например: а) sin 7650 = sin(2·3600 + 450) =sin 450 = 
б) cos(-11700) = cos11700 = cos (3·3600 +900)= cos 900 = 0.
Попробуйопределить знак выражения:
а) sin (-300) ; cos (-700);tg (-450); б) sin 1000·cos 3000; в) cos 3200·ctg 170
Мы уже отмечали, что наряду сградусной мерой угла существует и радианная мера углов.
Единицей измерения углов в радианноймере является угол величины в один радиан — это такой центральный угол, которойопирается (или стягивает) дугу окружности, по длине равной ее радиусу.
Если обозначить 10 и 1рад.соответственно градусную и радианную меры, то для выражения градусной мерычерез радианную будем использовать формулу:
,
А для выражения радианноймеры углов через градусную будем использовать формулу:
1 рад ≈ 570, а 10 ≈ 0,017рад
Выразим в градусах а) 4,5рад;б) 
4,5рад = 4,5· 
= 
· 
Найдем радианную меру углов:а) 450 б) 720
Решение: 450 = 450 · 
720 = 720 · 
