Каждую строку матрицы А обозначим еi = (ai1 ai2 …, ain) (например,
е1 = (a11 a12 …, a1n), е2 = (a21 a22 …, a2n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.
Линейной комбинацией строк el, e2,…ek называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = llel + l2e2 +…+ lkek, где ll, l2,…, lk — произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).
Строки матрицы el, e2,…em называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ll, l2,…, lm, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
llel + l2e2 +…+ lmem = 0, где 0 = (0 0…0).
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент lm ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на lm, получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
em = (ll/lm)el + (l2/lm)e2 +…+ (lm-1/lm)em-1.
Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. llel + l2e2 +…+ lmem = 0 Û lk = 0 k, то строки называют линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.
Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min {m . n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным. Пусть для определенности это минор
Строки этого минора также будем называть базисными.
Докажем, что тогда строки матрицы el, e2,…er линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: er = llel + l2e2 +…+ lr-1er-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на ll, элементы 2-й строки, умноженные на l2, и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на lr-1, то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.
Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.
Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю:
Разложим его по элементам j-го столбца . Здесь последнее алгебраическое дополнение Аij совпадает с базисным минором D ¹ 0 Þ Аij ¹ 0. Поэтому можно разделить обе части последнего равенства на Аij. Это позволит выразить из него элемент: .
Если зафиксировать номер строки (i), то получим, что для любого j элементы i-й строки линейно выражаются через элементы базисных строк: , т.е. любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных.
Теорема доказана.