Пусть векторы e 1, e 2, … en Î V и a1,a2, … a n ÎK.
Вектор x = a1e 1 + a2e 2 + … + a nen = 
называется линейной комбинацией векторов e 1, e 2, …, en с коэффициентами a1,a2, … a n.
Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной.
Множество всевозможных линейных комбинаций векторов 
называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:
ℒ(e 1, e 2, …, en) = ℒ 
.
8°. ℒ(e 1, e 2, …, en) является линейным пространством.
◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(e 1, e 2, …, en) – это множество всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента х = 
противоположным является элемент – x = 
. Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом, ℒ(e 1, e 2, …, en) является линейным пространством.
Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек ▶
|
|
|
В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:
Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)?
2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?
3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?
