1.1. Коллинеарные векторы.
Теорема 3. Если векторы и
коллинеарны, то существует единственное число
такое, что
, (1)
и наоборот.
∆ , тогда
. если
, то
Обратное очевидно. ▲
3.2..Компланарные векторы
Опр. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
Теорема 4. Если векторы компланарны и векторы
неколлинеарны, то
∆ Отложим векторы от одной точки:
Проведем .
(т.3)
(т.3). По правилу параллелограмма:
Допустим, что числа не единственные:
вычитая, получим:
Если то
Отсюда следует, что
и
коллинеарны, что противоречит условию. Аналогично при ▲
3.3. Линейная зависимость
Возьмем конечную систему векторов и
чисел
Опр. Вектор называется линейной комбинацией векторов
!Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа
не все равные нулю, что выполняется условие:
(2)
Если равенство (2) выполняется только при нулевых коэффициентах, то векторы называются линейно независимыми.
Теорема 5. (необх. и дост. условие лзав.) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.
|
|
∆ лк остальных.
Имеет место равенство (2). Пусть
тогда
очевидно ▲
3.4. Свойства линейных систем векторов
1. Если подсистема линейно зависима, то и вся система векторов лз..
2. Если система лнз, то любая её подсистема лнз.
3. Всякая система, содержащая 0-вектор, линейно зависима.
Теорема 6. Два вектора лз тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Теорема 7. Три вектора лз тогда и только тогда, когда они компланарны.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)