Будем рассматривать функцию двух переменных 
. Для обозначения частных производных будем использовать нижние индексы:
, 
, 
, 
, 
, …..
Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка с частными производными для функции двух переменных 
называется уравнение вида:
, (1)
где 
– функции двух переменных 
и 
, заданные в некоторой области 
плоскости 
.
Если 
, то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Введем обозначение
,
здесь 
– линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве 
функций 
. Оператор 
называют линейным, если, при вещественных 
, 
.
Соответствующее однородное уравнение запишется в виде:
. (2)
Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения с частными производными:
1. Если 
есть решение уравнения (2), то и 
, где 
– постоянная, есть также решение уравнения (2).
2. Если 
и 
есть решения уравнения (2), то сумма 
есть также решение уравнения (2).
Доказательство свойств следует из линейности оператора 
.
|
|
|
Следствие из 1 и 2: Если функции 
есть решения уравнения (3), то и их линейная комбинация
,
где 
– произвольные постоянные, также является решением уравнения (2), но, в отличие от обыкновенного линейного дифференциального уравнения, уравнение в частных производных может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.
Неоднородное уравнение можно записать в виде:
. (3)
Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с частными производными:
1. Если 
есть решение уравнения (2), а функция 
есть решение соответствующего однородного уравнения (1), то сумма 
есть также решение неоднородного уравнения (1).
2. Если 
есть решение уравнения 
и 
есть решения уравнения 
, то сумма 
есть также решение уравнения 
.
Покажем, что любое уравнение (1) может быть приведено к одному из трех видов.
Составим из коэффициентов уравнения (1) обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
, (4)
которое называется характеристическим уравнением для уравнения (1).
Уравнение (4) распадается на два дифференциальных уравнения:
(5)
(6)
(если перемножим уравнения (5) и (6), то получим уравнение (4)).
Из (5) и (6) следует
(5’)
. (6’)
Общие интегралы (общие решения) этих уравнений называются характеристиками уравнения.
1. Если при всех допустимых 
и 
,
Тогда общие решения уравнений (5’) и (6’) различны и вещественны
и 
, (7)
т.е. имеем два различных вещественных семейства характеристик уравнения (1) .
2. Если при всех допустимых 
и 
,
,
уравнение (1) называется уравнением эллиптического вида.
Общие интегралы характеристического уравнения (4) будут комплексно сопряженные функции
|
|
Представленная информация была полезной? ДА 58.98% НЕТ 41.02% Проголосовало: 1002 |
(7’)
и получим два семейства мнимых характеристик .
3. Если при всех допустимых 
и 
,
,
уравнение (1) называется уравнением параболического вида.
Тогда уравнения (5’) и (4’) совпадают и мы получаем один общий вещественный интеграл
, (7”)
и одно семейство характеристик.
Пример.
Определим тип уравнения и найдем характеристики
.
Здесь 
и 
.
Таким образом,
1) если 
и уравнение принадлежит к гиперболическому виду .
Решаем характеристические уравнения
и первый общий интеграл имеет вид
, 
.
и второй общий интеграл имеет вид
, 
.
2) если 
и уравнение принадлежит к эллиптическому виду .
Составим характеристическое уравнение и запишем его в виде
, 
,
.
Таким образом, общий интеграл уравнения представляет собой комплексно-сопряженные функции
,
здесь 
– вещественная часть, 
– мнимая часть.
3) если 
, то уравнение принадлежит к параболическому типу .
Составим характеристическое уравнение 
.
Канонические формы для уравнений (1)
А) Пусть уравнение (1) принадлежит к гиперболическому виду, тогда вводя новые переменные
и 
(8)
уравнение (1) можно привести к виду
. (9)
Уравнение (9) – первая каноническая форма уравнений гиперболического типа.
Часто уравнение (1) приводят ко второй канонической форме:
(9’)
Б) Пусть уравнение (1) принадлежит к эллиптическому виду, тогда вводя новые переменные
и 
,
здесь 
– вещественная часть решения (7’), 
– мнимая часть решения (5’), уравнение (1) можно привести к виду
(10)
– каноническая форма для уравнений эллиптического типа.
В) Пусть уравнение (1) принадлежит к параболическому виду, тогда вводим новые переменные
и 
,
здесь 
– общий интеграл уравнения (3’), а функция 
– произвольная функция, удовлетворяющая условиям 
и 
.
После замены переменных уравнение (1) перейдет в следующее
, (11)
– каноническая форма для уравнений параболического типа.
