МЕТОДИЧЕСКИЕРЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибокучастников ЕГЭ 2019 года по МАТЕМАТИКЕ
КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня в2019 г. по сравнению
с 2018 годом не претерпели изменений всодержательном плане. В отдельных
заданиях второй части были сделанынезначительные изменения сложности для
улучшения соответствия общей трудности КИМцелевой группе участников
профильного экзамена. Так, был несколько расширенкруг сюжетов задания 17,
незначительно упрощены геометрическиеконструкции в задании 14 и изменены
подходы к разработке заданий 15 (неравенство)с целью исключения
искусственных выражений с логарифмами попеременному основанию.
Высокие показатели успешностипродемонстрированы при решении
первых шести заданий базового уровня – выше70.
В целом успешность выполнения заданий базовогоуровня сложности составляет 31 – 95%. По сравнению с 2018 годом отмечаетсяпрогресс решения планиметрических задач, что связано с общим ростом уровняпреподавания геометрии в рамках реализации Концепции развития математическогообразования в Российской Федерации. По сравнению с 2018 годом также отмечаетсяпрогресс при решении заданий базового уровня по математическому анализу нагеометрический смысл производной – более 51% (в 2018 году менее 50%), чтопоказывает реальный рост понимания идей анализа. Наиболее заметной проблемойостается овладение базовыми наглядными понятиями стереометрии (43–54%) – этоодин из существенных резервов повышения качества обучения. Успешностьвыполнения заданий повышенного уровня сложности составляет 31–58%. Наилучшиепоказатели при решении уравнений или вычислении значений выражений (более 55%).Наиболее заметной проблемой 8 остается решение текстовых задач (более 31%) –это один из существенных резервов повышения качества подготовки абитуриентов.
Задание 1. Цена на электрический чайникбыла повышена на 25% и составила 1625 рублей. Сколько рублей стоил чайник доповышения цены?
Выполнение – около 87%. Типичные ошибкисвязаны в первую очередь с неумением читать условие и пониманием процентов –около 6% участников экзамена, выполнявших это задание, посчитали, что «еслицена была повышена на 25%, то для нахождения старой цены нужно новую цену понизитьна 25%»; около 0,5% участников «прочитали», что 25% – это 1625 рублей.
Задание 2 проверяло умениеиспользовать приобретенные знания и умения в практической деятельности иповседневной жизни – читать графики. С этим заданием справилось более 95% участников.Ниже приведен пример такого задания.
Задание 2. На графике изображеназависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. Нагоризонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси —крутящий момент в Н м× . Определите по графику крутящий момент, если двигатель совершал 5000оборотов в минуту. Ответ дайте в Н м× .
Выполнение – около 98%. Несколько участниковэкзамена, выполнявших это задание, посчитали, что « Н м× » означает – крутящийсямомент нужно умножить на число оборотов двигателя.
Задание 4. В среднем из 2000 садовыхнасосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, чтоодин случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Выполнение – около 87%. Типичные ошибкисвязаны в первую очередь с невнимательным чтением условия – около 2,5% нашливероятность выбора подтекающего насоса, не обратив внимание на частицу «не» вусловии.
Задание 3. На клетчатой бумаге с размеромклетки 1 1´ изображён треугольник ABC . Найдите длину его биссектрисы, проведённойиз вершины B.
Выполнение – около 87%. Типичные ошибкисвязаны в первую очередь с невнимательным чтением условия – около 2,5%участников, выполнявших это A B C11 задание, нашли площадь треугольника.
Задание 8. Цилиндр и конус имеют общие основаниеи высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхностиконуса равна 3 2 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Выполнение – около 42%. Около 8% не далиникакого ответа. Почти 38% участников ошиблись в формуле площади боковойповерхности конуса, при этом почти 12% ошибочно использовали числовойкоэффициент из формулы объема конуса. Задание важное, показательное, так каконо проверяет сформированность пространственных представлений и знаниесоотношений между величинами пространственных фигур. Более половины выпускниковпродемонстрировали их отсутствие. Разумеется, при отсутствии базовыхпространственных представлений и знаний соотношений сложно ожидать высокогопроцента выполнения стереометрического задания с полным решением. Следует такжеотметить, что процент выполнения этого задания существенно ниже, чем, например,формально гораздо более сложного задания на решение тригонометрическогоуравнения и осуществления отбора корней. Это означает, что низкий процентвыполнения заданий по стереометрии вызван именно существенными проблемами впреподавании стереометрии, зачастую формальному характеру уроков, уклоном ввычислительные задачи, а, в некоторых школах, и существенному перекосу всторону алгебры и начал анализа. Следует подчеркнуть важность наличиягеометрических знаний для успешно дальнейшего обучения в инженерных ВУЗах. Впреподавании геометрии очень важным является не только умение решатьвычислительные задачи с геометрическим содержанием (по формулам), но иформировать геометрические представления о фигурах (телах).
Задание 5. Показательное уравнение .
Выполнение – около 93%. Почти 2% участниковошиблись в свойствах степеней.
Задание 7 проверяло умение выполнять действия с функциями – применение производной кисследованию функции. С этой задачей справилось около 54% участников экзамена. Типичныеошибки связаны в первую очередь с невнимательным чтением условия.
Задание 10проверяло умение использовать приобретенные знания и умения в практическойдеятельности и повседневной жизни – работать с формулой, находить значениеодного из параметров. С этой задачей справилось около 65% участников экзамена.
Задание 10. В июле 2020 года планируетсявзять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждыйянварь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;15 — сфевраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностьюпогашен за 2 года. Найдите r.
Ненулевые баллы получило около 15%,максимальные – около 8% участников экзамена. Типичные ошибки связаны в первуюочередь с неверным составлением модели задачи (непонимание взаимосвязи величин)и вычислительными ошибками. Очень много выпускников без всяких обоснованийпишут сразу формулу (не всегда имеющую отношение к задаче) или начинают решениетак: «Пусть r = 10%, тогда …», – не получилось при этом значении, берут другое.Складывается впечатление, что решать задаче не обязательно, а нужно получитьтолько число, при этом способ получения этого числа не важен.
Задание 14. На рёбрах AB и BC треугольнойпирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM MB CN NB : : 1: 2 = = . Точки P и Q —середины рёбер DA и DC соответственно.16 а) Докажите, что точки P, Q , M и Nлежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, накоторые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Ненулевые баллы получило около 11% участниковэкзамена. Основной проблемой оказалось выполнение первого пункта. Участники экзаменапродемонстрировали неумение доказывать, непонимание взаимосвязи элементовгеометрической конструкции, очень часто встречались ошибки в теоретическихфактах. Много встречается разного рода логических ошибок, примером которыхявляется следующее рассуждение – «предположим, что точки лежат в однойплоскости…». При выполнении задания второго пункта участники продемонстрировалинезнание соотношений объемов многогранников. Особо следует отметить большоеколичество разного рода ошибок, допущенных участниками при построении чертежа.
Задание 11. Теплоход, скорость которого внеподвижной воде равна 27 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и послестоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянкадлится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 32 часа послеотправления из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
Выполнение – около 31%. Не дали никого ответа8% участников экзамена, выполнявших это задание. Типичные ошибки связаны впервую очередь с невнимательным чтением условия задачи – почти 16% участниковнашли расстояние между пунктами отправки и стоянки – и много вычислительныхошибок. Около 10% продемонстрировали непонимание движения по реке – собственнуюскорость умножили на время движения.
Задание 12. Найдите точку минимума функции
Выполнение – около 54%. Не дали никого ответаоколо 10% участников экзамена, выполнявших это задание. Типичные ошибки связаныв первую очередь с невнимательным чтением условия задачи или непониманиемалгоритма исследования функции с помощью производной – почти 7% участников вответ записали точку максимума. Около 5% продемонстрировали незнаниепроизводной логарифмической функции.
Задание 13. Основнойпроблемой выполнения первого пункта оказалось неумение вводить новую переменную(ошибка в свойствах степеней), незнание формул решения простейшеготригонометрического уравнения. При выполнении второго пункта участники экзаменапродемонстрировали неумение или небрежность отбора корней (с помощьютригонометрической окружности).
Общая рекомендация при подготовке учащихсяк ЕГЭ – следование простым правилам.
1. Для каждого из обучающихся определитьзадачи, которые он или она решает уверенно(1 тип);
задачи, которые решаются хорошо, но частобывают случайные ошибки (2 тип)
и задачи, которые решаются плохо или вовсе непоняты (3 тип).
2. Обратить особое внимание на задачи 2-готипа: занимаясь ими, учащийся не только эффективно готовится к задачам этоготипа, но и, незаметно для себя, повышает общую культуру, которая потребуетсядля решения прочих задач.
3. Доводя до совершенства решение понятныхзадач, не следует забывать задачи 1-го типа (их тоже нельзя терять).
4. Задачи трудные для обучающегося (3-й тип)следует добавлять в его варианты понемногу, следя за тем, чтобы они не сталипреобладающими – иначе мотивация может снизиться (ничего не получается), апонятные и привычные задачи забудутся.
Лучше, если обучающийся, выполняя своиподготовительные задания решит почти все сам и уже после этого будет с учителемразбираться в одной-двух непонятных задачах. Это экономит время и учителютакже, а школьнику придает уверенности в том, что большинство задач он решитьможет.
5. Нельзя забывать о том, что подготовка кЕГЭ – это только подготовка к ЕГЭ, и она будет успешной на фоне общихматематических знаний. Поэтому, повторим, сводить обучение в последний год-дватолько к прорешиванию вариантов чревато провалом на ЕГЭ. Подготовка к ЕГЭ, каки ко всякому экзамену – заключительная часть этапа обучения, а не цельобучения.
Учителям необходимо усилить разъяснительнуюработу среди обучающихся и родителей, направляя и поощряя их сознательный выбортребуемого и необходимого уровня математического образования и уровня итоговойаттестации. На ступени основной и средней (полной) общей школы при организациипреподавания математики приобретают еще большую актуальность следующие меры:
1. Выделение направлений математическойподготовки: для успешной жизни в современном обществе; учебе и профессиональнойдеятельности; научных областях.
2. Для каждого направления необходимоопределить меры по реализации содержания образования на базе ФГОС и примерныхобразовательных программ, в частности – актуализированное общедоступными базамиучебных и контрольных заданий.
3. Требуется дальнейшее увеличение долигеометрии, статистики, теории вероятностей и логики в преподавании математики.
4. Для эффективной реализации программыуровневого обучения необходим мониторинг индивидуальных учебных траекторийшкольников начиная с первого года обучения.
5. Необходимо внедрение механизмовкомпенсирующего математического образования как в виде очных занятий, так ичерез сеть интернет-курсов, позволяющие своевременно ликвидировать пробелы,незнание.
6. Необходимо проведение эффективныхмеханизмов текущего и рубежного контроля – на школьном, региональном ифедеральном уровнях.
7. Для учащихся, достигших базового уровня ине претендующих на достижение профильного уровня и выполнение экзаменационнойработы профильного уровня, на ступени старшей школы должна быть предусмотренавозможность развивающего обучения математике.
8. Для учащихся, не достигших базового уровняматематической подготовки к окончанию основной школы, дальнейшее математическоеобразование на старшей ступени средней школы должно проводится по специальноразработанным интенсивным программам, направленным на освоение базовыхматематических умений, и позволяющим подготовиться к итоговой аттестации набазовом уровне. Система внутреннего промежуточного контроля и итоговойаттестации по математике должна быть нацелены не на оценку абсолютнойподготовки учащегося, а на оценку результата освоения математики учащимся сучетом выбранного направления математической подготовки.
9. Необходимо заменить «принцип прохожденияпрограммы» качественным усвоением знаний и умений на выбранном ими направленииподготовки.
10. Для организации повторения необходимоиспользовать для работы на уроке комплекты материалов для подготовки учащихся китоговой аттестации.
Рекомендациипо работе с учащимися, планирующими выполнение экзаменационной работы напрофильном уровне
В первую очередь нужно выработать уобучающихся быстрое и правильное выполнение заданий части 1, используя, в томчисле и банк заданий экзамена базового уровня. Умения, необходимые длявыполнения заданий базового уровня, должны быть под постоянным контролем
Для учащихся, слабо овладевших илифактически не овладевших математическими компетенциями, требуемыми вповседневной жизни, и допускающих Для подготовки к государственной итоговойаттестации учащихся этой категории следует различными диагностическимипроцедурами выявить 9–12 заданий экзамена базового уровня, которые учащийсяможет выполнить, возможно, с ошибками, и в процессе обучения добитьсяуверенного выполнения этих заданий. Расширять круг этих заданий следуетпоэтапно. Эта работа может быть организована для различных групп учащихсяодного класса на разных уровнях в урочной и внеурочной работе . Для учащихся,которые имеют достаточно высокий уровень подготовки, но не планируют сдачуэкзамена профильного уровня, при подготовке к экзамену базового уровня, следуетделать больший акцент на решение задач 18–20.
В частности, для учащихся с не очень высокимуровнем подготовки, следует рекомендовать обратить особое внимание на задание13, и первые пункты заданий 14, 16 и 19. Изменений в структуре КИМ ЕГЭ базовогои профильного уровней в 2018 году не планируется. В заключение хотелось быподчеркнуть, что главной основой успешной сдачи экзамена по математике являетсякачественное системное изучение математики, отсутствие пробелов в базовыхматематических знаниях. Следует помнить, что как и написано на сайте ФИПИ «Приознакомлении с демонстрационным вариантом контрольных измерительных материаловЕГЭ 2018 г. следует иметь в виду, задания, включённые в него, не отражают всехвопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2018г.
Справкаоб изменениях в КИМ ОГЭ 2019 г.
По сравнению со структурой 2018 года из работыисключён модуль «Реальная математика». Задачи этого модуля распределены помодулям «Алгебра» и «Геометрия». Количество заданий и максимальный первичныйбалл оставлены без изменений.
