Методы описания движения жидкости

КИНЕМАТИКА ТЕКУЧЕГО ТЕЛА

Л. Эйлер и Ж. Лагранж предложили два метода изучения движения жидкости.

По Лагранжу за движением отдельной частицы жидкости наблюдают, исследуя её траекторию. Координаты x ₀, y ₀, z ₀, соответствующие начальному моменту времени t ₀, рассматр­ивают как наименование частицы, позволяющее в любой момент отличить её от других частиц. Положение частицы, определяемое радиус-вектором r или декартовыми координатами x, y, z, есть функция её начальных координат x ₀, y ₀, z ₀ и времени t:

.

(3.1)

Величины x ₀, y ₀, z ₀, а также скорости и давления, связанные с движущимися элементарными объёмами сплошной среды, называют переменными Лагранжа.

Скорость частицы и проекции скорости на координатные оси определяются дифференцированием (3.1) по времени (при постоянных начальных координатах x ₀, y ₀, z ₀):

(3.2)

Ускорение частицы и его проекции на координатные оси определяются дифференцированием уравнений (3.2) по времени:

(3.3)

Производную по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа, называют субстанциальной (как относящуюся к определенной частице субстанции).

Метод Лагранжа, дающий подробное описание движения каждой частицы, не получил распространения из-за своей громоздкости и сложности.

Для решения практических задач важно знать не столько поведение индивидуальной частицы, сколько со­стояние движения в каждый момент времени в каждой точке пространства. Такой подход к описанию движения предложил Л. Эйлер.

По Эйлеру исследуется зависимость скорости частиц в определенной точке пространства (через которую частицы непрерывно следуют одна за другой) от координат точки x, y, z и от времени t:

, (A)

или, в проекциях на оси координат:

(3.4)

где величины x, y, z называют переменными Эйлера. Эйлеровыми переменными называют и характеристики сплошной среды (поле скоростей, поле давлений, поле напряжений и т. п.), отнесённые к фиксированным элементам геометрического пространства (точкам, линиям, поверхностям, объёмам).

Величины x, y, z имеют в методах Лагранжа и Эйлера различный смысл. По Лагранжу эти величины представляют переменные координаты одной и той же частицы движущейся жидкости. По Эйлеру — это постоянные координаты одних и тех же точек пространства, через которые в разные моменты времени проходят различные частицы жидкости.

Если уравнения (3.4) рассмотреть для некоторого момента времени t, то получим распределение скоростей частиц жид­кости в пространстве для этого момента.

При постоянных значениях x, y, z и переменном t получим зависимость скорости жидкости от времени в данной точке пространства, причем в разные моменты времени скорости будут относиться к разным частицам жидкости.

В том случае, когда желательно выяснить, каким образом изменяется с течением времени скорость в точке (x, y, z) пространства, следует продифференцировать уравнения (3.4) по време­ни, считая координаты x, y, z постоянными.

Если же нас интересует, каким ускорением обладает частица, проходящая в данный момент времени через точку (x, y, z), то следует рассматривать координаты x, y, z как величины, зависящие от времени. Ведь за малый промежуток времени dt, в течение которого мы наблюдаем за изменением скорости частицы, она успевает перейти из точки (x, y, z) в другую точку.

Таким образом, скорость частицы зависит от времени как непосредственно, так и через посредство координат x, y, z, в свою очередь являющихся функциями времени. Поэтому ускорение частицы следует вычислять, дифференцируя (A) как сложную функцию:

. (3.5)

Так как

. . ,

то

. (3.6)

Аналогично для компонент ускорения частицы

(3.7)

Первый член правой части уравнения (3.6) выражает локальное ускорение (местное) частицы. Он характеризует изменение скорости во времени в данной точке пространства, обусловленное нестационарностью поля скоростей. Последующие три члена представляют изменения скорости частицы, обусловленные изменением её координат, и называются конвективными ускорениями.

Символически вынося вектор за скобки в уравнении (3.6), получим

. (3.6a)

Выражение в скобках представим как скалярное произведение вектора
(B)

на символический вектор — дифференциальный оператор (Гамильтона) набла

, (C)

то есть и, следовательно,

. (D)

Аналогично преобразовав уравнения (3.7), перепишем (3.6) и (3.7) в виде

. (3.8)

(3.9)