Многочлены над полем действительных чисел

с действительными коэффициентами

, (1)

.

По основной теореме алгебры этот многочлен имеет хотя бы один комплексный корень (R C). Этот корень может быть действительным.

Теорема о сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами:

Если является корнем многочлена (1) с действительными коэффициентами, то число, сопряженное к является корнем .

Доказательство:

Так как – корень, то , . (2)

Из теории комплексных чисел

,

,

,

,

.

,

. (3)

, т.е. является корнем многочлена. Ч.т.д.

Покажем, что кратность корней и будет одинаковой.

Пусть — корень многочлена k -ой кратности, — корень многочлена -ой кратности.

.

Учитывая определение кратности

.

, .

Надо доказать, что .

1) Пусть , тогда .

.

,

.

Получили многочлен второй степени с действительными коэффициентами .

– многочлен с действительными коэффициентами, любая его степень будет многочленом с действительными коэффициентами.

.к. с действительными коэффициентами, ψ тоже с действительными коэффициентами.

Тогда частное = с действительными коэффициентами.

, =&gt . является корнем этого многочлена.

.

.к. – корень, то тоже корень (по предыдущей теореме).

, но , т.к. и =&gt . получили противоречие.

Предположение, что не верно.

2) , то аналогично получили бы противоречие.

=&gt . =&gt . кратности корней многочлена с действительными коэффициентами одинакова.

При этом говорят, комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены.

Разложение многочлена над полем действительных числе на неприводимые множители

с действительными коэффициентами.

Над полем C этот многочлен имеет n корней и разлагается на n линейных множителей.

, над C.

Некоторые могут быть действительными.

Пусть для определенности

.

— комплексные корни.

, тогда по теореме о существовании сопряженного корня среди найдется число сопряженное .

.

Комплексных корней четное число и они попарно сопряжены

,

с действительными коэффициентами

.

. (*)

— многочлены второй степени с действительными коэффициентами, корни которых комплексно-сопряженные.

Все множители разложения (*) многочлены с действительными коэффициентами.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами над R разлагается на произведение старшего коэффициента, линейных множителей вида , соответствующих действительным корням, и квадратных множителей вида , соответствующих парам комплексно-сопряженных корней.

Следствие: Неприводимыми многочленами над P являются многочлены 1 степени и 2-ой степени, у которых D&lt .0.

Теорема: Все многочлены выше второй степени над полем действительных чисел приводимы.

Доказательство:

Пусть с действительными коэффициентами степени . По основной теореме алгебры существует корень α, если:

1) α – действительный корень, .

2) α — комплексный корень =&gt . у многочлена

.

.

Все многочлены выше второй степени – приводимы. Ч.т.д.