Значительную ценность представляет умение находить координаты вектора, перпендикулярного заданному вектору. Покажем как это делается на плоскости и в пространстве с использованием условия перпендикулярности векторов в координатной форме.
Начнем с нахождения вектора, перпендикулярного данному, на плоскости.
Следует понимать, что для заданного ненулевого вектора 
на плоскости существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Покажем это. Пусть вектор 
лежит на прямой a. Тогда любой ненулевой вектор 
, лежащий на любой из прямых, перпендикулярных прямой a, будет перпендикулярен вектору 
. К примеру, координатному вектору 
перпендикулярен вектор 
, а также любой из векторов 
, где 
— произвольное действительное число, отличное от нуля.
Таким образом, задача нахождения координат вектора 
, перпендикулярного вектору 
на плоскости имеет бесконечное множество решений. Так как же найти координаты хоть какого-нибудь вектора, перпендикулярного вектору 
?
Для этого записываем условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме 
, где 
и 
— искомые координаты перпендикулярного вектора. Далее, если 
, то придаем координате 
произвольное ненулевое значение, а координату 
находим из равенства 
. Если же 
, а 
, то придаем координате 
произвольное значение, отличное от нуля, а координату 
находим как 
.
Пример.
Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный вектору 
.
Решение.
Пусть искомым вектором является вектор 
. Найдем его координаты.
По условию перпендикулярности векторов 
и 
имеем 
. Примем 
, тогда 
, откуда 
. Таким образом, вектор 
— один из векторов, перпендикулярных вектору 
.
Ответ:
.
Аналогично ищется вектор, перпендикулярный заданному вектору 
в трехмерном пространстве.
Для вектора 
существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Покажем это. Пусть вектор 
лежит на прямой a. Обозначим буквой 
произвольную плоскость, перпендикулярную прямой a. Тогда любой ненулевой вектор 
, принадлежащий плоскости 
, перпендикулярен вектору 
.
Покажем, как с помощью условия перпендикулярности векторов находятся координаты некоторого вектора 
, перпендикулярного данному ненулевому вектору 
.
Пусть вектор 
имеет координаты 
и 
. Найдем их.
По условию перпендикулярности двух векторов должно выполняться равенство 
. Так как вектор 
ненулевой, то хотя бы одна из его координат отлична от нуля. Пусть 
(можно принять 
или 
). Тогда можно разделить на эту координату обе части равенства 
, при этом получим 
. Таким образом, придав координатам 
и 
произвольные значения, хотя бы одно из которых отлично от нуля, и вычислив при этом 
по формуле 
, мы получим вектор, перпендикулярный заданному вектору 
.
Разберем на примере.
Пример.
Найдите координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного вектору 
.
Решение.
Пусть искомым вектором является 
. По условию перпендикулярности двух векторов должно выполняться условие
Примем 
, тогда 
.
Таким образом, 
— один из векторов, перпендикулярных вектору 
.
Ответ:
.
