1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Вспомним определение интеграла 
как предела интегральных сумм: 
В определении предполагается, что интервал интегрирования конечен, а функция f (x) непрерывна в нем. Нарушение этих предположений приводит к несобственным интегралам.
Определение. Если интеграл 
стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании “b”, то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f (x) и обозначают символом 
В этом случае говорят, что несобственный интеграл 
существует или сходится.
Если указанный предел не существует или существует, но бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:
Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:
где с — любая фиксированная точка на оси Ох.
Итак, несобственные интегралы могут быть с бесконечно нижней границей, с бесконечно верхней границей, а также с двумя бесконечными границами.
Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость
Интеграл 
существует только тогда, когда существует каждый из интегралов: 
и 
.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл 
Полагая с = 0, получим:
т.е. интеграл сходится.
Иногда нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится, сравнив его с другим интегралом.
Теорема сравнения несобственных интегралов.
Пусть в интервале [a . +¥) функции f (x) и j (х) непрерывны и удовлетворяют неравенству 0 £ j (x) £ f (x). Тогда:
а) если интеграл 
сходится, то сходится 
б) если интеграл 
расходится, то 
также расходится.
Пример.1. Исследовать, сходится ли интеграл:
Решение. Заметим, что при 1 £ x:
Далее,
= 1
Следовательно, 
сходится и его значение, меньше 1.
Пример. 2. Исследовать, сходится ли интеграл
Замечаем, что 
Но, 
.
Следовательно, расходится и данный интервал.
Теорема. Если интеграл 
сходится, то сходится и интеграл 
.
В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если интеграл от 
расходится, то об интеграле от f (x) на одном этом основании ещё ничего сказать нельзя: он может расходиться, а может и сходиться. В последнем случае (т.е. когда 
сходится, 
расходится говорят, что 
сходится условно (не абсолютно).
Пример. Исследовать сходимость интеграла
Здесь подынтегральная функция – знакопеременная.
Замечаем, что 
Но 
Следовательно, интеграл 
сходится.
Отсюда следует, что сходится и данный интеграл.
Итак, для определения сходимости несобственного интеграла можно его сравнивать с другим интегралом, который заведомо сходится или расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций
Если на отрезке [a . b] функция f (x) имеет несколько (конечное число) точек разрыва первого рода, это “препятствие” легко устранить, разбив отрезок точками разрыва на несколько отрезков, вычислить определенные интегралы на каждом отдельном участке и результаты сложить.
Рассмотрим определенный интеграл от функции, неограниченной при приближении к одному из концов отрезка [a . b], например, 
.
(В таких случаях обычно говорят: ’’Функция имеет бесконечный разрыв на правом конце отрезка интегрирования’’.)
Ясно, что обычное определение интеграла здесь теряет свой смысл.
Определение. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной при а £ х < . b и неограниченной при x ® b — 0, называется предел:
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце отрезка:
Если точка с бесконечного разрыва находится внутри интервала (a . b), то:
причем исходный интеграл называется сходящимся, если существуют оба интеграла в правой части этого равенства, причем независимо друг от друга.
Пример 1. Вычислить интеграл: 
Подынтегральная функция стремится к ¥ при х ® 1, поэтому:
Пример. 2. Вычислить интеграл 
.
Так как внутри отрезка интегрирования существует точка x = 0, где подынтегральная функция разрывна, то и интеграл нужно представить как сумму двух слагаемых:
.
Вычислим каждый предел отдельно:
Следовательно, на участке [ -1, 0] интеграл расходится.
Значит на участке [0, 1)] интеграл также расходится.
Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке [-1, 1]. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат. Действительно,
, что невозможно.
Итак, для исследования несобственного интеграла от разрывной функции, необходимо разбить его на несколько интегралов и исследовать их.
