Область определения функций двух и трех переменных. Частное и полное приращение

Определение функции нескольких переменных.

Лекция № 19-20

Список используемой литературы

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с
3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, — 208 с.
6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

Тема «Функции нескольких переменных»

Цель: познакомить с определением функции нескольких переменных, дать представление об области определения функций двух и трех переменных.

Ключевые слова: функция нескольких переменных, предел, непрерывность.

Вопросы:

1. Определение функции нескольких переменных.

2. Область определения функций двух и трех переменных. Частное и полное приращение.

3. Понятие о линиях уровня функции нескольких переменных.

4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Переменная величина Z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре значенийх и у соответствует единственное значение z. Функция двух переменных обозначается таким образом: Z = f (х, у)

Систему значений х и у называют точкой М (х,у), а функцию двух переменных – функцией точки: Z = f (М).

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве. Значение функции Z = f (х, у) при х =а, у = в обозначается

f (а, в).

Переменная величина U называется функцией трех переменных х, у, z, если каждой тройке значений х, у и z соответствует единственное значение U.

Обозначение: U = f (х, у, z).

Аналогично для n переменных:

U = f (х, у, z,…….., t).

Замечание: Для обозначения независимых переменных и функций могут быть использованы различные символы.

Например, функцию двух переменных можно записать в виде у = f (х₁, х₂), а функцию n переменных – в виде:

у = f (х₁, х_{2, ……..,} х_n).

Так может обозначаться производственная функция.

Определение: Функция n независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами n производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется n- факторной производственной функцией (функцией выпуска): у = F(х₁, х_{2, ……..,} х_n).

При моделировании экономики страны рассматривают следующую макроэкономическую двухфакторную производственную функцию: Y = F (K, L),

где L – затраты труда, K – объем производственных фондов.

Совокупность всех точек, в которых определена функция нескольких переменных, называется областью определения функции. Для функции двух переменных областью определения является некоторая часть координатной плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями, для функции трех переменных – часть пространства.

Частные приращения функции Z = f (х, у) определяются формулами:

D_х Z = f (х + Dх, у) — f (х, у)

D_у Z = f (х, у + Dу) — f (х, у)

Полное приращение функции Z = f (х, у):

D Z = f (х + Dх, у + Dу) — f (х, у)

Полное приращение функции U = f (х, у, z):

D U = f (х + Dх, у + Dу, z + Dz) — f (х, у,z)

Пример 1. Найти область определения функции

х ² + у ² + z ² = 9

Решение. Разрешим это уравнение относительно z., получим: Z = ± Ö 9 – х ² — у ²

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 9 – х ² — у ² ³ 0 или х ² — у ² ≤ 9.

Этому неравенству удовлетворяют координаты всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса 3, с центром в начале координат. Таким образом, областью определения данной функции является круг радиуса 3. Сама функция является сферой радиуса 3.

Пример 2. Определить приращения функции z = х × у, когда х и у изменяются от точки М₀ (1 . 2) до точек: М₁ (1,1 . 2), М₂ (1 . 1,9), М₃ (1,1 . 2,2).

Решение:

1). При изменении х и у от т. М₀ (1 . 2) до т. М₁ (1,1 . 2) приращение получает только аргумент х, причем

Dх = 1,1 – 1 = 0,1. Частное приращение функции по х:

D_хz =(х + Dх)у – х у = х у + Dх×у – х у = Dх × у = 0,1 × 2 = 0,2

D_хz = 0,2

2). При изменении х и у от т. М₀ (1 . 2) до т. М₂ (1 . 1,9) приращение получает толь ко аргумент у, причем

Dу = 1,9 – 2 = — 0,1. Тогда частное приращение функции по у: D_уz =х (у + Dу) – ху = х у + х Dу –х у = х Dу = 1 (- 0,1)=

= — 0,1 . D_уz = — 0,1

3) При изменении х и у от т. М₀ (1 . 2) до т. М₃ (1, 1 . 2,2) приращение получают оба аргумента, причем Dх = 1,1 – 1 = 0,1, а Dу = 2,2 – 2 = 0,2. Полное приращение функции:

Dz = (х + Dх)× (у + Dу) – ху = ху +хDу +уDх + Dх×Dу – ху =

= хDу +уDх + Dх×Dу = 1× 0,2 + 2× 0,1 + 0,1× 0,2 = 0,42

Dz = 0,42

3. Понятие о линиях уровня функции

нескольких переменных.

Известно, что в аналитической геометрии при изучении поверхностей второго порядка обычно пользуются методом сечений, который заключается в том, что определение вида поверхности по ее уравнению производится путем исследования кривых, образованных при пересечении этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Пусть, например, задана функция z = f (х, у), определяющая некоторую поверхность. Если положить, что у = у₀, где у₀ – некоторое постоянное число, а изменять только х, то z станет функцией одной переменной х, т.е.

Z = f (х, у₀ ). Исследуя эту функцию одной переменной известными методами, можно выявить характер изменения величины z в зависимости от изменения х. Аналогично можно выявить поведение z в зависимости от изменения у при различных, но постоянных значениях х, т.е. исследовать функцию z = f (х, у). Но можно изучать функцию z = f (х, у) посредством того же приема сведения ее к функции одной переменной, придавая постоянное значение не одной из независимых переменных, а самой функции, т.е. полагая, что z = z₀. Тогда уравнение f (х, у) = z₀ определяет зависимость между переменными х и у (т.е. функцию одной переменной), при которой функция z сохраняет постоянное значение z₀. Геометрически это означает пересечение поверхности z = f (х, у) плоскостью z = z_0, параллельной плоскости ОХУ.

Определение 1. Линией уровня функции z = f (х, у) называется линия на плоскости ОХУ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

Определение 2. Линии уровня производственных функций называются линиями постоянного выпуска или изоквантами.