X-PDF

Области целостности. Делители нуля

Поделиться статьей

 Пусть  — произвольное кольцо.

Определение. Отличный от нуля элемент  кольца  называется делителем нуля в данном кольце, если в  существует отличный от нуля элемент , такой, что  или  (разумеется, в этом случае и элемент  является делителем нуля в ).

Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо, содержащее не менее двух элементов, без делителей нуля.

Примеры

6.1. В кольце  классов вычетов по модулю  делителями нуля являются классы , , , т.к. , .

6.2. В кольце  квадратных матриц второго порядка с действительными элементами делителями нуля являются, например, матрицы

, , так как

, , так как .

6.3. В кольце  функций, непрерывных на множестве , делителями нуля являются, например, функции

Представленная информация была полезной?
ДА
58.65%
НЕТ
41.35%
Проголосовало: 989

, , так как .

Отсюда следует, что кольца из приведенных примеров областями целостности не являются.

6.4. Любое поле является областью целостности. 

Действительно, пусть  — поле. Пусть элемент ,  является делителем . Тогда существует ,  такой, что  (1).

По определению поля, для ,  существует элемент , обратный , то есть . Умножим обе части равенства (1) на . Получим , то есть . Полученное противоречие доказывает, что в поле  нет делителей нуля, следовательно,  — область целостности.

6.5.  — поле комплексных чисел, а значит, область целостности. В  нет делителей нуля, тогда их нет ни в одном числовом кольце. Следовательно, все числовые кольца, содержащие не менее двух элементов, являются областями целостности. В частности, , , , ,  и т.п.

 

Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.65%
НЕТ
41.35%
Проголосовало: 989

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет