Пусть — произвольное кольцо.
Определение. Отличный от нуля элемент кольца
называется делителем нуля в данном кольце, если в
существует отличный от нуля элемент
, такой, что
или
(разумеется, в этом случае и элемент
является делителем нуля в
).
Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо, содержащее не менее двух элементов, без делителей нуля.
Примеры
6.1. В кольце классов вычетов по модулю
делителями нуля являются классы
,
,
, т.к.
,
.
6.2. В кольце квадратных матриц второго порядка с действительными элементами делителями нуля являются, например, матрицы
,
, так как
,
, так как
.
6.3. В кольце функций, непрерывных на множестве
, делителями нуля являются, например, функции
,
, так как
.
Отсюда следует, что кольца из приведенных примеров областями целостности не являются.
6.4. Любое поле является областью целостности.
Действительно, пусть — поле. Пусть элемент
,
является делителем
. Тогда существует
,
такой, что
(1).
По определению поля, для ,
существует элемент
, обратный
, то есть
. Умножим обе части равенства (1) на
. Получим
, то есть
. Полученное противоречие доказывает, что в поле
нет делителей нуля, следовательно,
— область целостности.
6.5. — поле комплексных чисел, а значит, область целостности. В
нет делителей нуля, тогда их нет ни в одном числовом кольце. Следовательно, все числовые кольца, содержащие не менее двух элементов, являются областями целостности. В частности,
,
,
,
,
и т.п.
Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)