Для любого действительного числа существует обратное число такое, что . Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.
· Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на обратную, как справа, так и слева получается единичная матрица:
.
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную . при этом обратная матрица также является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная .
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
- Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица — вырожденная и не имеет обратной матрицы.
- Находим матрицу — транспонированную к матрице .
- Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них матрицу, заменяя каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением. Такая матрица называется присоединенной (или союзной), обозначим ее .
- Вычисляем обратную матрицу по формуле .
- Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из её определения: .
Пример 1. Найти матрицу, обратную данной .
|
|
- Найдем определитель матрицы разложением по первой строке =, следовательно, матрица А невырожденная и обратная матрица существует.
- Находим матрицу , транспонированную к А:
- Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу:
.
- Вычисляем обратную матрицу.
- Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам: (выполнить самостоятельно).