X-PDF

Общее уравнение прямой на плоскости

Поделиться статьей

Будем считать, что на плоскости задана некоторая ДПСК.

Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, называется её нормальным вектором. Стандартное обозначение: .

Очевидно, что всякая прямая имеет бесконечно много нормальных векторов, но все они коллинеарны друг другу.

Теорема. В декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени, т.е. уравнением вида

Ax+By+C= 0. (1)

И обратно: всякое уравнение вида (1) определяет на плоскости некоторую прямую.

Доказательство. Докажем прямую часть теоремы. Пусть на плоскости задана прямая p и пусть точка M 0(x 0, y 0) – некоторая принадлежащая ей точка, а – её нормальный вектор. Как обычно

при выводе уравнений, берем текущую точку прямой M (x, y) и рассматриваем вектор Тогда:

Выражая скалярное произведение векторов через их проекции, получаем:

(2)

Это и есть искомое уравнение прямой. Раскрыв скобки, его нетрудно записать в форме (1):

и обозначив ,

получим уравнение (1).

Докажем обратную часть теоремы. Пусть дано произвольное уравнение вида (1). Термин “произвольное” означает, что коэффициенты A, B, C могут быть какими угодно числами, исключая, конечно, случай одновременного равенства A=B= 0. Мы должны доказать, что такое уравнение определяет некоторую прямую.

Пусть x 0, y 0 – какое-нибудь решение уравнения (1) (например, x 0 – произвольное, а y 0= (–C–Ax 0) /B, если В≠ 0 . если же В= 0, то y 0 – произвольное, а ). Это означает, что

Ax 0+By 0+C= 0 – (3)

верное числовое равенство. Вычтем из уравнения (1) равенство (3). Получим

уравнение

Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 1041

A (x–x 0) +B (y–y 0) = 0, (2)

равносильное исходному уравнению (1). Но согласно уже доказанному, такое уравнение имеет прямая проходящая через точку с координатами x 0 и y0, для которой – нормальный вектор. Теорема доказана.

Замечание 1. Уравнение

Ax+By+C= 0 (1)

называют общим уравнением прямой. Уравнение же

A (x–x 0) +B (y–y 0) = 0 (2)

есть уравнение прямой, проходящей через точку M 0(x 0 . y 0) и имеющей нормальный вектор .

Пример. Даны вершины треугольника A (2 .1), B (–1 .–1) и C (3 .2). Составить уравнение высоты AD, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Решение. Для высоты AD вектор является нормальным. Поэтому, используя (2), можно написать искомое уравнение:

4(x– 2) + 3(y– 1) = 0,

или 4 x+ 3 y– 11 = 0.

Замечание 2. В случае, когда один или два из коэффициентов уравнения (1) равны 0, уравнение называют неполным. Неполные уравнения определяют на плоскости характерные прямые.

1) С= 0 . уравнение Ax+By= 0 определяет прямую, проходящую через начало координат.

2) В= 0(А≠ 0) означает: прямая параллельна оси Oy.

3) В= 0 и С= 0 (А≠ 0) . прямая параллельна оси Oy и проходит через начало координат, т.е. это сама ось ординат, её уравнение Аx= 0 или х= 0.

4) А= 0(В≠ 0) . прямая параллельна Ox.

5) A= 0, C= 0(B≠ 0) . прямая совпадает с осью Ox, её уравнение y= 0.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 1041

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет