Рассмотрим тело, которое получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 
, вокруг оси 
. Для вычисления его объема применим общую формулу объема тела через площадь поперечных сечений. В данном случае в сечении плоскостью 
получается круг радиуса 
. Тогда его площадь 
. Соответственно
– объем тела вращения вокруг оси 
.
Пример. Найти объём конуса радиуса 
и высотой 
.
Конус – это тело, которое можно получить вращением вокруг оси 
криволинейной трапеции под графиком линейной функции 
, где 
. Подставляя 
в формулу объема тела вращения, получаем
.
В случае вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси 
фигуры под графиком функции, заданной параметрическими уравнениями 
, формула имеет вид 
.
Пример. Найти объём тела, полученного вращением астроиды вокруг оси 
.
Параметрические уравнения астроиды
Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то можно считать только половину объема тела – это объем тела, полученного вращением части кривой, соответствующей изменению параметра
|
|
|
от 
до 
. Подставив в формулу вычисления объема, получим 
.
Сделаем в этом интеграле замену 
.
Пересчитаем пределы интегрирования: при 
. при 
. Отсюда:
Удваивая полученный результат, получаем окончательный ответ 
.
