Вариации и обобщения
Свойства
Касательная к окружности
Касательная как предельное положение секущей
Замечание
Строгое определение
Касательная прямая
Примеры
·,
·,
[1].
График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Содержание · 1 Строгое определение · 2 Замечание · 3 Касательная как предельное положение секущей · 4 Касательная к окружности o 4.1 Свойства · 5 Вариации и обобщения o 5.1 Односторонние полукасательные |
· Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, и дифференцируема в ней:. Касательной прямой к графику функции f в точке x 0 называется график линейной функции, задаваемой уравнением
.
· Если функция f имеет в точке x 0 бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
x = x 0.
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x 0, f (x 0)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению
где обозначает тангенс, а — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.
Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки (x 0, f (x 0)) и (x 1, f (x 1)) задаётся уравнением
Эта прямая проходит через точку (x 0, f (x 0)) для любого и её угол наклона α(x 1) удовлетворяет уравнению
В силу существования производной функции f в точке x 0, переходя к пределу при получаем, что существует предел
а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол
Прямая, проходящая через точку (x 0, f (x 0)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:
y = f (x 0) + f (x 0)(x − x 0).
Отрезки касательных
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.
1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».
· Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x 0 называется луч
· Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x 0 называется луч
· Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x 0 называется луч
· Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x 0 называется луч