Суммой матриц А = (aij) и В = (bij) одинакового размера называется матрица С = (сij) того же размера, причем сij = aij + bij, i,j.
Свойства операции сложения матриц
Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства:
1. А+В=В+А (коммутативность) .
2. (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность).
Произведением матрицы А = (aij) на число l называется матрица В = (bij) того же размера, что и матрица А, причем bij =l aij, i,j.
Свойства операции умножения матрицы на число
1. l(mА)=(l m) А (ассоциативность).
2. l(А+В)= l А +l В (дистрибутивность относительно сложения матриц).
3. (l+ m) А =l А+mА (дистрибутивность относительно сложения чисел).
Произведением АВ матриц А и В (размеров m ´ n и n ´ r соответственно) называется матрица С размера m ´ r, такая, что сij = ai 1b 1j+ a 12b 2j +…+ aik bkj +…+ ain bnj = .
Таким образом, каждый элемент сij, находящийся в i -й строке и j -м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы А и j -го столбца матрицы В.
Получение элемента сij схематично изображается так
|
|
j
Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц
1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность).
2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность).
3. А(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность).
4. АВ¹ВА (отсутствует коммутативность).
Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ=ВА.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной (обозначается А Т).
_________________
1.3.1. Найти линейные комбинации заданных матриц:
а) А- l Е, .
б) 4 А -5 В, .
1.3.2. Найти произведения матриц АВ и ВА (если они существуют):
а) . б) А =(4 0 -2 3 1), .
в) .
1.3.3. Проверить, коммутируют ли матрицы:
а) .
б) .
1.3.4. Найти произведения матриц АА Т и А ТА:
а) б) А =(1 2 3 4) . в) .
1.3.5. Найти линейные комбинации матриц:
а) 5 А -3 В +2 С, .
б) А- l Е, .
1.3.6. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно):
а) . б) .
1.3.7. Найти произведения АА Т и А ТА:
а) б) .
________________________
Ответы:
1.3.1.а) . б) .
1.3.2.а) .
б) АВ =(31) . .
в) АВ не существует, .
1.3.3.а) да . б) нет.
1.3.4.а) .
б) АА Т=(30) . .
в) . .
1.3.5.а) б) .
1.3.6.а) , ВА – не существует .
б) . .
1.3.7.а) .
б) .