Операции над множествами. Пустое и универсальное множества

Пустое и универсальное множества

Определение. В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Ø.

В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Его принято называть универсальным и обозначать символом U.

Например, при сборке некоторого изделия универсальным множеством естественно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит.

Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.

Определение 1.2. Два множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов. Поэтому несуществен порядок записи в фигурных скобках элементов множества, задаваемого списком, т.е. { a, b, c } = { a, c, b }.

Определение. Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. При этом пишут A  B, где  есть знак вложения подмножества. Из определения следует, что для любого множества A справедливы, как минимум, два вложения A  A и A  U.

Определение. Если A  B и A  B, A  , то A называется собственным подмножеством множества B. В этом случае B содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий A.

В теории множеств, по определению, полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества:   A.

Пустое множество и само множество A называются несобственными подмножествами множества A.

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника (рис 1.1).

Определение. Объединением множеств A и B (обозначение A B) называется множество элементов x таких, что x принадлежит хотя бы одному из двух множеств A или B (рис 1.2). Символически это можно записать следующим образом:

A B = {xx  A или x  B}.

Определение. Пересечением множеств A и B (обозначение A B) называется множество, состоящее из элементов x, которые принадлежат и множеству A и множеству B (рис. 1.3):

A B = {xx  A и x  B}.

Определение. Разностью множеств A и B называется множество всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B (рис. 1.4):

AB = {xx  A и x  B}.

Определение. Симметрической разностью множеств A и B называется множество A B = (AB)(BA) (рис. 1.5).

Определение. Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество A = UA, где U — универсальное множество (рис. 1.6).

В дальнейшем вместо термина абсолютное дополнение мы будем употреблять термин дополнение.

Пример. Если U = { a, b, c, d, e, f, g, h }, A = { c, d, e }, B = { a, c, e, f, h }, то

A B = { a, c, d, e, f, h },

A B = { c, e },

AB = {d},

A  B = { a, d, f, h },

Ā= { a, b, f, g, h }.

Автор статьи

Анастасия

Задать вопрос

Эксперт