X-PDF

Определение и свойства линейного пространства.

Поделиться статьей

Линейные пространства.

Возвращаясь к основным задачам для линейных систем, напомним, что существование и единственность решения доказаны лишь для частного случая квадратных систем с отличным от нуля определителем (для крамеровских систем). Получить аналогичный результат для общей линейной системы и ответить на остальные вопросы, сформулированные в лекции 1, мы сможем, опираясь на понятие линейного пространства, которое и введём в этой лекции.

            Линейные операции – сложение и умножение на число – могут выполняться над различными по природе объектами: числами, векторами, функциями, матрицами и т.д. Отвлечёмся от конкретной природы объектов и от привычного способа сложения и умножения на число, а также допустим в качестве множителей любые (не только вещественные) числа из некоторого числового поля . Сохраняя единую точку зрения на линейные операции и их свойства, приходим к понятию линейного пространства.

       Множество  элементов  любой природы называется линейным пространством над полем , если выполняются следующие требования:

1. Имеется правило, по которому  ставится в соответствие элемент , называемый суммой элементов ,  и обозначаемый .

2. Имеется правило, по которому  и  ставится в соответствие элемент , называемый произведением элемента  на число   и обозначаемый .

3. Эти правила подчинены аксиомам:

1°.  — коммутативность суммы,

2°.  — ассоциативность суммы,

3°.  — существование нуля и его особая роль при сложении,

4°.  — существование противоположного элемента,

5°.  — особая роль числового множителя ,

6°.  — ассоциативность относительно числовых множителей,

7°.    — дистрибутивность относительно суммы числовых множителей,

    — дистрибутивность относительно суммы элементов.

Приведём примеры конкретных линейных пространств.

Пример 1. Пространство  — множество векторов в трехмерном пространстве (вернее, множество радиус-векторов точек этого пространства). В  определены и операция сложения векторов — по правилу параллелограмма, и операция умножения вектора на вещественное число  — «растяжение» в  раз с изменением направления при . Справедливость всех аксиом устанавливается в курсе аналитической геометрии. Аналогичные множества на плоскости и на прямой будем обозначать  и .

       Но множество векторов, заполняющих не всю плоскость, а, например, только первую четверть, не образует линейного пространства, так как такое множество не содержит противоположных векторов. Не образуют линейного пространства и векторы на плоскости с выколотым началом координат или на плоскости с прямолинейной щелью, проходящей через начало координат (почему?).

       Пример 2. Пространство  — множество элементов, каждый из которых определяется совокупностью  чисел из некоторого поля : . Числа  называются координатами элемента . Операции сложения элементов  и умножения элемента  на число  определяются так:

.

Нулевой элемент — совокупность  нулей: . Противоположным для элемента  является элемент . Легко проверить, что все аксиомы выполняются. Пространство  называется -мерным координатным пространством.

       Пример 3. Пространство  — множество функций , непрерывных на сегменте . Сложение функций и умножение на число  производится по правилам анализа, нулевой элемент — это тождественно равная нулю функция. Выполнение аксиом 1° — 8° очевидно.

       Пример 4. Пространство  — множество многочленов степени, не превышающей , с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число.

Но если все коэффициенты многочлена положительны, то линейного пространства не получим (почему?).

Образует ли линейное пространство множество многочленов строго фиксированной степени n?

       Пример 5. Пространство  — множество всех положительных вещественных чисел. Сумму элементов   определим как произведение этих чисел (тогда нулевой элемент — число 1), произведение элемента  на вещественное число  определим ка степень  (тогда противоположный элемент — это число . Предлагаем убедиться в справедливости аксиом 1° — 8° для такого пространства.

       Пример 6. Замечательный пример линейного пространства даёт совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов понимаем их смешение, под умножением цвета на положительное число  — увеличение в  раз его интенсивности, под умножением на  — дополнительный цвет. Свойства этого линейного пространства используются в цветных телевизорах.

       Пример 7. Совокупность всех  матриц образует линейное пространство (почему?)

       Пример 8.  Рассмотрим однородную линейную систему, в матричной записи это . Пусть столбцы  — два решения этой системы. Свойства умножения матриц позволяют записать

,

т.е. решения однородной линейной системы можно складывать. Аналогично, если  — решение системы и , то

Значит, решение можно умножать на число . Нулевой элемент — это тривиальное решение, которым всегда обладает однородная система. Поэтому множество решений линейной однородной системы образует линейное пространство (с этим пространством мы ещё встретимся).

       Пример 9. Из курса дифференциальных уравнений: совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

 

       В каждом рассмотренном примере речь идёт о линейных операциях, определённых на некотором множестве, а вот на каком именно — совершенно не имеет значения. Совсем как у Алисы из страны чудес: “Ты видела когда-нибудь, как рисуют множество? — Множество чего? — спрашивает Алиса. — Ничего. Просто множество” Автор этих слов — математик Чарльз Лутвидж Доджсон (Льюис Кэррол), объектом исследований которого были системы линейных уравнений.

 

       Отметим некоторые свойства линейных пространств, являющихся логическими следствиями аксиом 1° — 8°.

       Теорема. Во всяком линейном пространстве

1) существует единственный нулевой элемент .

2) для  существует единственный противоположный элемент .

3) нулевой элемент равен произведению  на число 0 .

Представленная информация была полезной?
ДА
58.55%
НЕТ
41.45%
Проголосовало: 982

4) для  противоположный элемент равен .

Докажем первое утверждение. Аксиома 3° устанавливает существование нулевого элемента во всяком линейном пространстве . Предположим, что в   существуют два нулевых элемента:  и . Полагая в аксиоме 3° сначала , , а затем , а , получим:

Доказательство остальных утверждений предлагаем провести самостоятельно.

Линейное пространство над полем вещественных чисел  называют вещественным линейным пространством и обозначают . Соответственно  — комплексное линейное пространство (над полем комплексных чисел ). Элементы линейного пространства обычно называют векторами (независимо от их природы).

Линейная зависимость

Пусть    — произвольное линейное пространство. Перенесём в него знакомое из векторной алгебры понятие линейной зависимости векторов.

Определение. Векторы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все одновременно равные нулю, что линейная комбинация данных векторов с этими числами даёт нулевой вектор пространства :

                                             (1)

Векторы  называются линейно независимыми, если равенство (1) выполняется только при .

 

Предлагается в качестве упражнения доказать следующие утверждения:

1. Наличие нулевого вектора в системе  влечёт линейную зависимость всей системы .

2. Наличие линейно зависимой подсистемы влечёт линейную зависимость всей системы .

3. Линейная независимость системы  наследуется любой её подсистемой .

4. Если векторы  линейно независимы, а вектор  есть их линейная комбинация , то это представление единственно .

5. Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных .

6. Верно ли утверждение: в случае линейной зависимости системы каждый вектор является линейной комбинацией остальных?

7.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Показать, что в пространстве  ( -мерном координатном пространстве) векторы

                                                      (2)

линейно независимы.

Решение. Действительно, линейная комбинация векторов (2) с числами  в силу аксиом линейного пространства представляет собой вектор , который является нулевым лишь при условии . ♦

 

Пример 2. Рассмотреть вопрос о линейной зависимости в -мерном координатном пространстве  произвольных  векторов

                                        (3)

Решение. Равенство нулю линейной комбинации этих векторов с числами

,                                     (4)

записанное в координатной форме, приводит к однородной системе  линейных уравнений относительно  неизвестных :

.                              (5)

Однородная система (5) всегда имеет тривиальное решение

.

Если тривиальное решение является единственным, т.е. система (5) — а с ней и равенство (4) — удовлетворяется только с нулевым набором чисел , то векторы  линейно независимы. Если же система (5) нетривиально совместна, т.е. кроме тривиального существует решение

,

то векторы  линейно зависимы. Иначе: линейная зависимость  векторов в пространстве  и нетривиальная совместность однородной системы  линейных уравнений с  неизвестными — это две стороны одной медали. ♦

 

       Пример 3. Показать, что в пространстве  многочленов, степень которых не выше 2, простейший набор линейно независимых векторов — это векторы .

Решение. Действительно, линейная комбинация  даёт тождественно равный нулю многочлен лишь при . ♦

 

       Пример 4. Убедиться, что в пространстве  многочленов, степень которых не выше , простейший набор линейно независимых векторов – это  (всего  векторов). ♦

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.55%
НЕТ
41.45%
Проголосовало: 982

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет