Линейные пространства.
Возвращаясь к основным задачам для линейных систем, напомним, что существование и единственность решения доказаны лишь для частного случая квадратных систем с отличным от нуля определителем (для крамеровских систем). Получить аналогичный результат для общей линейной системы и ответить на остальные вопросы, сформулированные в лекции 1, мы сможем, опираясь на понятие линейного пространства, которое и введём в этой лекции.
Линейные операции – сложение и умножение на число – могут выполняться над различными по природе объектами: числами, векторами, функциями, матрицами и т.д. Отвлечёмся от конкретной природы объектов и от привычного способа сложения и умножения на число, а также допустим в качестве множителей любые (не только вещественные) числа из некоторого числового поля 
. Сохраняя единую точку зрения на линейные операции и их свойства, приходим к понятию линейного пространства.
Множество 
элементов 
любой природы называется линейным пространством над полем 
, если выполняются следующие требования:
1. Имеется правило, по которому 
ставится в соответствие элемент 
, называемый суммой элементов 
, 
и обозначаемый 
.
2. Имеется правило, по которому 
и 
ставится в соответствие элемент 
, называемый произведением элемента 
на число 
и обозначаемый 
.
3. Эти правила подчинены аксиомам:
1°. 
— коммутативность суммы,
2°. 
— ассоциативность суммы,
3°. 
— существование нуля и его особая роль при сложении,
4°. 
— существование противоположного элемента,
5°. 
— особая роль числового множителя 
,
6°. 
— ассоциативность относительно числовых множителей,
7°. 
— дистрибутивность относительно суммы числовых множителей,
8° 
— дистрибутивность относительно суммы элементов.
Приведём примеры конкретных линейных пространств.
Пример 1. Пространство 
— множество векторов в трехмерном пространстве (вернее, множество радиус-векторов точек этого пространства). В 
определены и операция сложения векторов — по правилу параллелограмма, и операция умножения вектора на вещественное число 
— «растяжение» в 
раз с изменением направления при 
. Справедливость всех аксиом устанавливается в курсе аналитической геометрии. Аналогичные множества на плоскости и на прямой будем обозначать 
и 
.
Но множество векторов, заполняющих не всю плоскость, а, например, только первую четверть, не образует линейного пространства, так как такое множество не содержит противоположных векторов. Не образуют линейного пространства и векторы на плоскости с выколотым началом координат или на плоскости с прямолинейной щелью, проходящей через начало координат (почему?).
Пример 2. Пространство 
— множество элементов, каждый из которых определяется совокупностью 
чисел из некоторого поля 
: 
. Числа 
называются координатами элемента 
. Операции сложения элементов 
и умножения элемента 
на число 
определяются так:
.
Нулевой элемент — совокупность 
нулей: 
. Противоположным для элемента 
является элемент 
. Легко проверить, что все аксиомы выполняются. Пространство 
называется 
-мерным координатным пространством.
Пример 3. Пространство 
— множество функций 
, непрерывных на сегменте 
. Сложение функций и умножение на число 
производится по правилам анализа, нулевой элемент — это тождественно равная нулю функция. Выполнение аксиом 1° — 8° очевидно.
Пример 4. Пространство 
— множество многочленов степени, не превышающей 
, с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число.
Но если все коэффициенты многочлена положительны, то линейного пространства не получим (почему?).
Образует ли линейное пространство множество многочленов строго фиксированной степени n?
Пример 5. Пространство 
— множество всех положительных вещественных чисел. Сумму элементов 
определим как произведение этих чисел (тогда нулевой элемент — число 1), произведение элемента 
на вещественное число 
определим ка степень 
(тогда противоположный элемент — это число 
. Предлагаем убедиться в справедливости аксиом 1° — 8° для такого пространства.
Пример 6. Замечательный пример линейного пространства даёт совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов понимаем их смешение, под умножением цвета на положительное число 
— увеличение в 
раз его интенсивности, под умножением на 
— дополнительный цвет. Свойства этого линейного пространства используются в цветных телевизорах.
Пример 7. Совокупность всех 
матриц образует линейное пространство (почему?)
Пример 8. Рассмотрим однородную линейную систему, в матричной записи это 
. Пусть столбцы 
— два решения этой системы. Свойства умножения матриц позволяют записать
,
т.е. решения однородной линейной системы можно складывать. Аналогично, если 
— решение системы и 
, то
Значит, решение можно умножать на число 
. Нулевой элемент — это тривиальное решение, которым всегда обладает однородная система. Поэтому множество решений линейной однородной системы образует линейное пространство (с этим пространством мы ещё встретимся).
Пример 9. Из курса дифференциальных уравнений: совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.
В каждом рассмотренном примере речь идёт о линейных операциях, определённых на некотором множестве, а вот на каком именно — совершенно не имеет значения. Совсем как у Алисы из страны чудес: “Ты видела когда-нибудь, как рисуют множество? — Множество чего? — спрашивает Алиса. — Ничего. Просто множество” Автор этих слов — математик Чарльз Лутвидж Доджсон (Льюис Кэррол), объектом исследований которого были системы линейных уравнений.
Отметим некоторые свойства линейных пространств, являющихся логическими следствиями аксиом 1° — 8°.
Теорема. Во всяком линейном пространстве 
1) существует единственный нулевой элемент .
2) для 
существует единственный противоположный элемент .
3) нулевой элемент равен произведению 
на число 0 .
4) для 
противоположный элемент равен 
.
Докажем первое утверждение. Аксиома 3° устанавливает существование нулевого элемента во всяком линейном пространстве 
. Предположим, что в 
существуют два нулевых элемента: 
и 
. Полагая в аксиоме 3° сначала 
, 
, а затем 
, а 
, получим:
.¨
Доказательство остальных утверждений предлагаем провести самостоятельно.
Линейное пространство над полем вещественных чисел 
называют вещественным линейным пространством и обозначают 
. Соответственно 
— комплексное линейное пространство (над полем комплексных чисел 
). Элементы линейного пространства обычно называют векторами (независимо от их природы).
Линейная зависимость
Пусть 
— произвольное линейное пространство. Перенесём в него знакомое из векторной алгебры понятие линейной зависимости векторов.
Определение. Векторы 
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, не все одновременно равные нулю, что линейная комбинация данных векторов с этими числами даёт нулевой вектор пространства 
:
(1)
Векторы 
называются линейно независимыми, если равенство (1) выполняется только при 
.
Предлагается в качестве упражнения доказать следующие утверждения:
1. Наличие нулевого вектора в системе 
влечёт линейную зависимость всей системы .
2. Наличие линейно зависимой подсистемы влечёт линейную зависимость всей системы .
3. Линейная независимость системы 
наследуется любой её подсистемой .
4. Если векторы 
линейно независимы, а вектор 
есть их линейная комбинация 
, то это представление единственно .
5. Векторы 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных .
6. Верно ли утверждение: в случае линейной зависимости системы каждый вектор является линейной комбинацией остальных?
7.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Показать, что в пространстве 
(
-мерном координатном пространстве) векторы
(2)
линейно независимы.
Решение. Действительно, линейная комбинация векторов (2) с числами 
в силу аксиом линейного пространства представляет собой вектор 
, который является нулевым лишь при условии 
. ♦
Пример 2. Рассмотреть вопрос о линейной зависимости в 
-мерном координатном пространстве 
произвольных 
векторов
(3)
Решение. Равенство нулю линейной комбинации этих векторов с числами 
, (4)
записанное в координатной форме, приводит к однородной системе 
линейных уравнений относительно 
неизвестных 
:
. (5)
Однородная система (5) всегда имеет тривиальное решение
.
Если тривиальное решение является единственным, т.е. система (5) — а с ней и равенство (4) — удовлетворяется только с нулевым набором чисел 
, то векторы 
линейно независимы. Если же система (5) нетривиально совместна, т.е. кроме тривиального существует решение
,
то векторы 
линейно зависимы. Иначе: линейная зависимость 
векторов в пространстве 
и нетривиальная совместность однородной системы 
линейных уравнений с 
неизвестными — это две стороны одной медали. ♦
Пример 3. Показать, что в пространстве 
многочленов, степень которых не выше 2, простейший набор линейно независимых векторов — это векторы 
.
Решение. Действительно, линейная комбинация 
даёт тождественно равный нулю многочлен лишь при 
. ♦
Пример 4. Убедиться, что в пространстве 
многочленов, степень которых не выше 
, простейший набор линейно независимых векторов – это 
(всего 
векторов). ♦
