Производная функции
Понятие производной. Правила
Дифференцирования. Таблица производных
Пусть функция 
определена в точке 
и в некоторой ее окрестности, x – точка из рассматриваемой окрестности. Приращением аргументав точке 
называется величина 
приращением функции – величина 
Если выразить 
то 
Производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.
Производную в точке обозначают 
По определению
(11.1)
или, что то же,
(11.2)
при условии, что пределы (11.1) и (11.2) существуют.
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то 
также является функцией (ее обозначают также 
).
Основные правила дифференцирования
Пусть 
– дифференцируемые функции. Справедливы формулы:
|
|
|
где 
(11.3)
где 
(11.4)
(11.5)
(11.6)
(11.7)
Таблица производных основных элементарных функций
где 
в частности:
где 
в частности, 
где 
в частности 
Пример 1. Найти производную функции 
в точке 
пользуясь определением, если:
1) 
2) 
Решение. 1) Используем определение производной в виде формулы (11.1):
Поскольку по условию 
то 
2) По формуле (11.1) получаем:
Далее, применив тригонометрическую формулу
получим:
Так как при 
имеем 
и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:
Поскольку по условию 
то 
Пример 2. Вычислить производную функции 
пользуясь определением производной.
Решение. Пусть x – произвольная фиксированная точка из 
Пользуясь формулой (11.1), имеем:
Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции 
функцию 
Пример 3. Найти производную функции:
1) 
2) 
3) 
Решение. 1) Дифференцируем функцию и используем формулы (11.4), (11.5) и таблицу производных, получаем:
2) Дифференцируем функцию по формулам (11.3)–(11.6) и соответствующим формулам таблицы производных:
3) Дифференцируем функцию по формулам (11.7), (11.5), (11.3) и первой формуле таблицы производных:
Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:
1) 
2) 
3) 
Решение. 1) Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:
Полученное выражение дифференцируем по формулам (11.4)–(11.6) и формулам таблицы производных:
2) Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
Дальше воспользуемся формулами (11.3)–(11.5) и таблицей производных:
|
|
|
3) Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:
Полученное выражение дифференцируем по формуле (11.7) и соответствующим формулам таблицы производных:
