Открытое занятие Тригонометрические уравнения

 

Государственное бюджетное профессиональноеобщеобразовательное учреждение

«Невинномысский энергетический техникум»

 

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка открытого занятия подисциплине «Математика»

Тема занятия:

Методы решения тригонометрических уравнений.

 

 

 

 

Преподаватель математики:

Скрыльникова Валентина Евгеньевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Невинномысск 2023 год.

Открытый урок по теме

Методы решениятригонометрических уравнений

Цели урока:

• Образовательные : повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания о методах решения тригонометрических уравнений.
• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.
• Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умение работать в коллективе.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

1.Организационный момент (обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологическинастроить учащихся к общению)

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок-обобщениепо теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрическихуравнений.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решениятригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решатьтригонометрические уравнения разными способами.

В начале урока мы вспомним основные формулы тригонометрии и ихприменение для упрощения выражений.

Далее работа будет чередоваться: вспомним формулы решенияпростейших тригонометрических уравнений, и на их основе посмотрим какпроисходит выборка корней при решении заданий ЕГЭ в части С1. Вспомним видытригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известнымалгоритмам, однородные тригонометрические уравнения первого  и второгопорядка, а также неоднородные  уравнения первого порядка. Проведёмразноуровневую проверочную работу, задания которой вы будете выбирать самостоятельно,учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверим решения, и вы выставитесебе оценку.  

Затем  получите домашнее задание и подведем итоги урока.Итак, приступаем.

2. Актуализация опорных знаний

1. Устный опрос(фронтально):

а)Какие простейшие тригонометрические уравнения мы знаем?

sin x = a,cos x = a, tg x = a,ctg x = a

б) Как решаем эти уравнения?

Повторение материала проводится по таблице (есть наинтерактивной доске)

	sin x = a	cos x = a	tg x = a	ctg x = a
1	решений нет	решений нет	х = arctg a+ +рn, nZ	х = arcctga +рn, nZ
	x = (–1)narcsina + р n, n Z	x = ± arccosa +2 р n, nZ
a = 1	х =  + 2р n, nZ	x = 2р n, nZ	х = +рn, nZ	x=+рn, nZ
a= –1	x = – + 2р n, nZ	x= р +2р n, , nZ	х = – +рn, nZ	x=+рn, nZ
a = 0	x = р n, nZ n,	x=+2р n, , nZ	x = р n, nZ	x=+ рn,nZ

в) Повторяем определения:

Арксинусом числа а называется число b, b [– ], sin b = a

Арккосинусом числа а называется число b, b b = a

arcsin(– a)= – arcsinаa) =  –arccosa

arctg(– a)= – arctgaa) =  – arcctga.

(Все ответы поясняются на интерактивном тригонометрическом круге,расположенном в файлах notebook интерактивной доски)

2.Решить уравнения: (задания записаны на интерактивной доске,ответы закрыты “шторкой”, в конце выполнения самопроверка, критерииоценивания с.р.: 0 – 3 задания – незачёт, 4– 5 заданий – зачёт )

	1	2	3	4	5
В I	cos = 1;	sin 3х = 0;	tg = –1	2cos (х – ) = 1	2cos (х – ) = 1
В II	sin = 1	сos 3х = 0	сtg = –1	2sin (х–) = 1	2cos – = 0.

Ответы:

	1	2	3	4	5
ВI	8рk, kZ	, nZ	+ 2рn, nZ	±++2рn, n	(–1)nр+3рn,nZ
ВII	2р + 8рk, k Z	+,nZ	+2рn, nZ	(–1)n++рn, n	+ 6рn, nZ

 

3. Основная часть урока (чередование фронтальной и индивидуальнойформ работы с последующей проверкой задания).

Творческая работа в группах.

Учитель: Назовите известные вам методы решения тригонометрическихуравнений.

Класс разбит на 6 групп, каждая из которых решает своим методом:

1-я группа – «Методом универсальной подстановки»;

2-я группа – «Методом разложения на множители»;

3-я группа – «Методом введения вспомогательного угла»;

4-я группа – «Методом вспомогательных неизвестных»;

5-я группа — «Методом оценки обеих частей уравнения»;

6-я группа – «Графический способ». (решение на компьютерах впрограмме «Eхcel»

 

Решается одно уравнение, используя перечисленные методы:

Sin x + Cos x = 1.

Из каждой группы вызывается один ученик к доске для решения этогоуравнения своим методом. Учитель сам оценивает работу в группах.

Ученикам раздаются карточки – подсказки:

 

Карточка№1.

С помощью универсальной подстановки tg =t

• 1) Вспомните Sin x =; Cos x = и сделайте подстановку.
• 2) Проверьте обязательно отдельно корень
  х = π + 2 πn, где nZ , чтобы не потерять корни исходного уравнения.

 

Карточка№2.

Способом разложения на множители.

• 1)Представьте данное уравнение в виде уравнения с половинным аргументом, используя формулы двойного угла.
• 2) разложите на множители.
•  

Карточка№3.

Введение вспомогательного угла.

 

• Вспомните, что SinП/4 = CosП/4 , введите

вспомогательный угол П/4 .

• Используя формулу синус суммы представьте данное уравнение с одной функцией.

Карточка№4.

Метод вспомогательных неизвестных.

 

• 1) Пусть sin x=a,cos x=b. Помни! Две переменных, введенных в одно уравнение, связаны друг с другом системой уравнений.

Карточка№5.

Метод оценки обеих частей уравнения.

• Помни! Если в уравнении правая часть положительна, то и левая часть уравнения должна быть положительной.
• Возведи обе части уравнения в квадрат.

Карточка №6

Графический способ

• Разбейте данное уравнение, так, чтобы тригонометрические функции находились в разных частях уравнения.

1. Введение новой переменной.	2sin2x – 5sinx + 2 = 0.	Пусть sinx = t, |t|≤1, Имеем: 2t2 – 5t + 2 = 0. Получаем и решаем tg  = z,
2. Разложение на множители	2sinx cos5x – cos5x = 0;	cos5x (2sinx – 1) = 0.
3. Однородные тригонометрические уравнения.	I степени a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).	Разделим на cosx ≠ 0. Получаем ии решаем: a tgx + b = 0; …
	II степени a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0.	1) если а ≠ 0, разделим на cos2x ≠0 имеем: a tg2x + b tgx + c = 0. 2) если а = 0, то имеем: b sinx cosx + c cos2x =0; разделим на cos2x ≠0 получаем и решаем b tgx + c = 0
4. Неоднородные тригонометрические уравнения.	Уравнения вида: asinx + bcosx = c где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.	Введение вспомогательного угла

• Постройте графики функций, записанные в левой и правой частях на одной координатной плоскости, учитывая период.
• Найдите точки пересечения двух графиков, учитывая период.

 

Учитель:  Ребята, а теперь вспомним основные методы решениятригонометрических уравнений.

*На экране проецируются основные виды тригонометрическихуравнений, методы их решений 

Учитель:  Вспомнив теорию, давайте решим несколько  тригонометрическихуравнений по известным алгоритмам.

*Задания можно выводить на экран, у меня они были подготовленына листах формата А3 и крепились к доске на магнитах. Каждое заданиевыполняется по одному ученику на доске, с объяснением. Первым двоим, не рядомсидящим, при правильном решении и оформлении ставится оценка.

Задание №1.

Решить уравнение  sin² х+ 5 sin х — 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену

sin х = z, ,

решая квадратное уравнение

z² + 5 z — 6 = 0,

находят

z₁  = 1

z₂  = -6 (неудовлетворяет условию)

Решением уравнение

sin х = 1

 х =  π/2  +2 πk, k Z.

Ответ: π/2  +2 π k, k Z.

Учитель:  Продолжим решать тригонометрические уравнения, применяя нужныйметод.

Задание №2

Решите уравнение  2 sin x+ 3cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k Z

х = — arctg 1,5 + πk,  k   Z

Ответ: -arctg 1,5 + πk, k   Z.

Задание №3

Решите  уравнение 2 sin² х — 3 sinх  cos х — 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение

2 sin² х  — 3sinх  cos х — 5 cos²х =0

2 sin² х  — 3sinх  cos х — 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

2 tg ²x — 3 tg x -5 = 0

замена    tg x = t

2 t² – 3 t – 5 =0

t₁  = -1;  t₂  =2,5

Выполняем обратную замену и решаем уравнения

1) tg х = -1

х = -π/2 + πk , k   Z.

2) tg х = 2,5

х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn,  n, k   Z.

 

4. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатовработы

Учитель:  А теперь  выберите два уравнения и самостоятельнорешите их.

*Работа выполняется под копирку. Оригинальный вариант сдаетсяучителю для проверки и выставления отметки, а второй — остается у учащихся длясамопроверки.

Класс разбивается на две группы. Одна группа выполняет работу повариантам,

другая по индивидуальным карточкам.

 

1-я группа

Самостоятельная работа ( по вариантам)

Решите уравнения.

 

1.    2 cosx- √2 = 0 (1б)

2.    tg2x +1 =0 (2б)

3.    2cos2x –3cosx +1 = 0 (3б)

4.    3 sin2x + sinxcosx — 2 cos2x = 0 (4б

 

2-я группа

Индивидуальные карточки

 

Карточка №1 Карточка №2

Решите уравнения: Решите уравнения:

1. (1балл) Cos 2x = 1 1. (1балл) Sin 3x = 1

2. (1 балл) tg3x = 0 2. (2балла) 2 Cos x/3 = 

3. (4 балла) (1 — Cos 2x)(tgx — ) = 0 3. (3балла)(1- 2Sinx)(ctgx – 1)=0

 

1.    Домашнеезадание

Решите уравнения разными способами:

а)cos2x +3sinx=3;

б)2sin23x – 5sin3xcos3x + 3 cos23x=0;

в) sin3x+cos3x = 0.

6.Рефлексия

Что нового вы узнали на уроке?

Каким методом лучше решать тригонометрическое уравнение?

Какое у вас настроение после проведённого урока?

Что бы вы пожелали?

Понравился ли вам урок?