X-PDF

Переход к новому базису

Поделиться статьей

Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый el, e2,…en и новый e l*, e2*,…en*. Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода

Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.

Матрица А — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А-1.

Пусть вектор Х имеет координаты (хl, х2,… хn) относительно старого базиса и координаты (хl*, х2*,… хn*) относительно нового базиса, т.е.
Х = xlel + x2e2 +…+ xnen = xl*el* + x2*e2* +…+ xn*en*.

Подставим в это уравнение значения el*, e2*,…en* из предыдущей системы:

xlel + x2e2 +…+ xnen = xl*(a11el + a12e2 + … + a1nen) + x2*(a21el + a22e2 + … + + a2nen) +…+ xn*(an1el + an2e2 + … + annen)

0 = el(xl*a11 + x2*a21 + … + xn*an1 — xl) + e2(xl*a12 + x2*a22 + … + xn*an2 – x2) +
+ … + en(xl*a1n + x2*a2n + … + xn*ann – xn)

В силу линейной независимости векторов el, e2,…en все коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:

или в матричной форме

Умножим обе части на А-1, получим:

Например, пусть в базисе el, e2, e3 заданы вектора а1 = (1, 1, 0),
а2 = (1, -1, 1), а3 = (-3, 5, -6) и b = (4 . -4 . 5). Показать, что вектора аl, а2, а3 тоже образуют базис и выразить в этом базисе вектор b.

Покажем, что вектора аl, а2, а3 линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:

Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами el, e2, e3 и аl, а2, а3 можно выразить системой:

Вычислим А-1.

= 6 + 0 — 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисе аl, а2, а3 вектор b = (0,5 . 2 . -0,5).

Представленная информация была полезной?
ДА
58.46%
НЕТ
41.54%
Проголосовало: 951

Линейные операторы

Линейным оператором (преобразованием, отображением) n-мерного векторного пространства называется правило Y = f(X), по которому каждому вектору Х ставится в соответствие единственный вектор Y, причем сохраняются линейные операции над векторами, т.е. имеют место свойства:

1) f(X + Z) = f(X) + f(Z) — свойство аддитивности оператора .

2) f(lX) = lf(X) — свойство однородности оператора.

Можно доказать, что каждому линейному оператору соответствует квадратная матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Поэтому линейное преобразование можно определить по-другому: линейным оператором n-мерного векторного пространства, заданным квадратной матрицей А, называется преобразование, которое любому вектору X, записанному в виде матрицы-столбца , ставит в соответствие вектор А(Х) = А*Х = .

Матрицу А называют матрицей оператора в данном базисе, а ранг этой матрицы — рангом оператора.

Например, если линейный оператор задан матрицей , то отображение Y вектора X = (4, -3, 1) будет равно

.

Отметим, что единичная матрица задает тождественное преобразование (тождественный оператор), поскольку, умножая ее на вектор, мы получаем тот же самый вектор.

Нулевая матрица определяется, как нулевой оператор, переводящий все векторы пространства в нулевые векторы.

Легко убедиться, что диагональная матрица, на диагонали которой стоит одно и то же число, задает оператор умножения вектора на это число.

Теорема. Матрицы А и А* одного и того же линейного оператора в базисах el, e2,…en и el*, e2*,…en* связаны соотношением А* = С-1АС, где С — матрица перехода от старого базиса к новому.

Доказательство. Обозначим Y отображение вектора X в базисe
el, e2,…en, а те же вектора в базисе el*, e2*,…en* обозначим Х* и Y*. Так как С — матрица перехода, можно записать:

X = СХ*

Y = CY*

Умножим слева обе части первого равенства на матрицу А:

АX = АСХ*

Так как АX = Y, получим Y = АСХ*, т.е. CY* = АСХ*. Домножив обе части последнего равенства на С-1, получим:

С-1CY* = С-1АСХ*

Y* = С-1АСХ*.

Так как Y* = А*X*, А* = С-1АС, что и требовалось доказать.

Например, пусть в базисе el, e2 матрица оператора А = . Найти матрицу этого оператора в базисе el* = el -2e2, e2* = 2el + e2.

Для этого построим матрицу перехода С = и обратную ей матрицу С-1. |C| = 5, , . Тогда


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.46%
НЕТ
41.54%
Проголосовало: 951

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет