Занятие 3.2.1
Перпендикулярность прямых.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонная.
Теорема о трех перпендикулярах.
Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 градусов.
Обозначение..
Рис. 1.
Рассмотрим прямые а и b.
Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую a`, параллельную прямой а, и прямую b`, параллельную прямой b.
Прямые a` и b` пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.
Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Доказательство:
Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую a`, параллельную прямой а и прямую c`, параллельную прямой c. Тогда угол АМС равен 90°.
|
|
|
Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая a` параллельна прямой а по построению. Значит, прямые a` и b параллельны.
Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол междупрямыми a` и b`, то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Свойство: Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она пересекает эту плоскость.
(Если a ┴ α, то a ∩ α.)
Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.
Свойства перпендикулярных прямых и плоскости:
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
На первом занятии мы изучали Лемму – если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая параллельная прямая пересекает плоскость. Прямая а пересекаетподуглом 900, т.е перпендикулярна, то и другаяпараллельнаяпрямая – перпендикулярна
Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к плоскости
Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.
|
|
|
