Это уравнение линейное относительно 
и 
. Положим 
, где 
и 
– вспомогательные искомые функции. Заметим, что если 
, то один из множителей (
или 
) можно выбрать произвольно (но не равным нулю). Тогда 
и уравнение примет вид
.
Раскроем скобки и сгруппируем члены, содержащие 
:
 ,  . |
(1) |
Выберем функцию 
таким образом, чтобы скобка в (1) обращалась в нуль. Тогда уравнение равносильно следующей системе:
 |
(2) (3) |
Уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
(берем простейшее частное решение этого уравнения, считая произвольную постоянную С, возникающую при взятии интеграла, равной нулю).
Подставляем найденное значение 
в уравнение (3). Имеем
, 
.
Интегрируя, находим
.
Окончательно, общее решение исходного уравнения
.
Ответ: Общее решение: 
.
Второй способ. Метод Лагранжа.
Предварительно решаем однородное линейное уравнение, т.е. уравнение 
– уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, 
, 
, 
, 
, 
.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией 
, т.е. полагаем 
и решение исходного уравнения ищем в виде 
.
Находим производную: 
. Подставляем значения 
и 
в исходное уравнение:
, 
,
, 
, 
.
Подставляя найденное выражение 
в искомое общее решение, получим
.
Естественно, такое же решение было получено методом Бернулли.
Уравнение Бернулли
Определение. Дифференциальное уравнение вида 
, 
, 
, 
(или 
) называется уравнением Бернулли.
Если 
, то уравнение линейное, а при 
– с разделяющимися переменными.
Способ решения. Подстановка 
сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению, и поэтому его можно решать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. подстановкой 
или методом вариации произвольной постоянной. Но на практике уравнение Бернулли удобнее решать подстановкой 
сразу же, без сведения его к линейному.
Пример. Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее заданному начальному условию 
.
Решение:
Данное уравнение является уравнением Бернулли (
). Положим 
, 
и уравнение примет вид
.
Сгруппируем члены, содержащие 
:
 . |
(1) |
Уравнение (1) равносильно следующей системе:
 |
(2) (3) |
Решим уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляем найденное значение 
в уравнение (3). Имеем, 
, 
– уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
, 
, 
, 
, 
, 
.
Окончательно, общее решение исходного уравнения
.
Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. при 
значение 
. Подставив в общее решение, получим
, 
, 
, 
.
Следовательно, искомое частное решение 
.
Ответ: Частное решение: 
.
