Это уравнение линейное относительно и
. Положим
, где
и
– вспомогательные искомые функции. Заметим, что если
, то один из множителей (
или
) можно выбрать произвольно (но не равным нулю). Тогда
и уравнение примет вид
.
Раскроем скобки и сгруппируем члены, содержащие :
![]() ![]() |
(1) |
Выберем функцию таким образом, чтобы скобка в (1) обращалась в нуль. Тогда уравнение равносильно следующей системе:
![]() |
(2) (3) |
Уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
,
,
,
,
,
,
(берем простейшее частное решение этого уравнения, считая произвольную постоянную С, возникающую при взятии интеграла, равной нулю).
Подставляем найденное значение в уравнение (3). Имеем
,
.
Интегрируя, находим
.
Окончательно, общее решение исходного уравнения
.
Ответ: Общее решение: .
Второй способ. Метод Лагранжа.
Предварительно решаем однородное линейное уравнение, т.е. уравнение – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
,
,
,
,
,
.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией , т.е. полагаем
и решение исходного уравнения ищем в виде
.
Находим производную: . Подставляем значения
и
в исходное уравнение:
,
,
,
,
.
Подставляя найденное выражение в искомое общее решение, получим
.
Естественно, такое же решение было получено методом Бернулли.
Уравнение Бернулли
Определение. Дифференциальное уравнение вида ,
,
,
(или
) называется уравнением Бернулли.
Если , то уравнение линейное, а при
– с разделяющимися переменными.
Способ решения. Подстановка сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению, и поэтому его можно решать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. подстановкой
или методом вариации произвольной постоянной. Но на практике уравнение Бернулли удобнее решать подстановкой
сразу же, без сведения его к линейному.
Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию
.
Решение:
Данное уравнение является уравнением Бернулли (). Положим
,
и уравнение примет вид
.
Сгруппируем члены, содержащие :
![]() |
(1) |
Уравнение (1) равносильно следующей системе:
![]() |
(2) (3) |
Решим уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
,
,
,
,
,
,
.
Подставляем найденное значение в уравнение (3). Имеем,
,
– уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
,
,
,
,
,
.
Окончательно, общее решение исходного уравнения
.
Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. при значение
. Подставив в общее решение, получим
,
,
,
.
Следовательно, искомое частное решение .
Ответ: Частное решение: .
