Уравнения Максвелла для проводящей среды
Уравнения Максвелла в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н
В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение много меньше проводимости Поэтому слагаемым в первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь.
При таком допущении уравнения Максвелла для проводящей среды принимают вид:
(46.1) | |
(46.2) |
В этих уравнениях два неизвестных и . Для их нахождения возьмем ротор от уравнения (46.1):
Учтем, что Вместо в соответствии с (46.2) подставим Получим
(46.3) |
Последнее уравнение является дифференциальным относительно В общем случае, когда зависит от всех трех или даже только от двух координат, его решение довольно сложно. Поэтому рассмотрим его решение для частного случая – для плоской электромагнитной волны.
Плоская электромагнитная волна
Под плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы и которой расположены в плоскости xOy, перпендикулярной направлению распространения волны (ось z), и изменяются только в функции координаты z и времени t. В дальнейшем под плоской волной будем понимать плоскую линейно поляризованную вол ну, в которой вектор направлен вдоль одной, а вектор – вдоль другой координатной оси плоскости xOy.
В силу определения плоской волны:
и
В плоской волне и являются функциями только одной координаты – функцией только z.
Повернем координатные оси таким образом, чтобы ось y совпала с вектором напряженности магнитного поля . При этом , где – единичный орт оси y декартовой системы координат. Подставим в уравнение (27.3) и раскроем :
(46.4) |
Учитывая, что
и
получаем
(46.5) |
Уравнение (46.5) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение имеет следующий вид:
(46.6) |
где и – постоянные интегрирования . это комплексы, которые определяются из граничных условий . для каждой конкретной задачи свои постоянные. Из характеристического уравнения найдем постоянную распространения
(46.7) |
Так как
то р можно представить и так:
(46.8) |
где
(46.9) |
Найдем В соответствии с уравнением (46.6) имеем
(46.10) |
Следовательно,
(46.10,а) |
Производная
. | (46.11) |
Выражение (46.10,а) показывает, что вектор напряженности электрического поля в плоской волне при выбранном расположении координатных осей направлен вдоль оси x (орт ). Таким образом, в плоской электромагнитной волне между и имеется пространственный сдвиг в ( направлено по оси x, а – по оси y).
Частное от деления p на γ принято называть волновым сопротивлением:
(46.12) |
Волновое сопротивление измеряется в омах, зависит от свойств среды ( и ) и угловой частоты . В соответствие с (46.10,а) и (46.11) проекция на ось x равна
где
и
Проекция на ось y в соответствии с (46.6)
где
и
Компоненты падающей и волны определяют вектор Пойнтинга , направленный вдоль положительного направления оси z. Следовательно, движение энергии падающей волны происходит вдоль положительного направления оси z. Компоненты отраженной волны и определяют вектор Пойтинга , направленный вдоль отрицательного направления оси z. Это означает, что отраженная волна несет с собой энергию вдоль отрицательного направления оси z. Волновое сопротивление можно трактовать как отношение . Волновое сопротивление является числом комплексным и имеет аргумент , поэтому сдвиг во времени между и для одной и той же точки поля тоже равен .