Уравнения Максвелла для проводящей среды
Уравнения Максвелла в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н
  |
В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение 
много меньше проводимости 
Поэтому слагаемым 
в первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь.
При таком допущении уравнения Максвелла для проводящей среды принимают вид:
 |
(46.1) |
 |
(46.2) |
В этих уравнениях два неизвестных 
и 
. Для их нахождения возьмем ротор от уравнения (46.1):
Учтем, что 
Вместо 
в соответствии с (46.2) подставим 
Получим
 |
(46.3) |
Последнее уравнение является дифференциальным относительно 
В общем случае, когда 
зависит от всех трех или даже только от двух координат, его решение довольно сложно. Поэтому рассмотрим его решение для частного случая – для плоской электромагнитной волны.
Плоская электромагнитная волна
Под плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы 
и 
которой расположены в плоскости xOy, перпендикулярной направлению распространения волны (ось z), и изменяются только в функции координаты z и времени t. В дальнейшем под плоской волной будем понимать плоскую линейно поляризованную вол ну, в которой вектор 
направлен вдоль одной, а вектор 
– вдоль другой координатной оси плоскости xOy.
В силу определения плоской волны:
и 
В плоской волне 
и 
являются функциями только одной координаты – функцией только z.
Повернем координатные оси таким образом, чтобы ось y совпала с вектором напряженности магнитного поля 
. При этом 
, где 
– единичный орт оси y декартовой системы координат. Подставим 
в уравнение (27.3) и раскроем 
:
 |
(46.4) |
Учитывая, что
и 
получаем
 |
(46.5) |
Уравнение (46.5) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение имеет следующий вид:
 |
(46.6) |
где 
и 
– постоянные интегрирования . это комплексы, которые определяются из граничных условий . для каждой конкретной задачи свои постоянные. Из характеристического уравнения 
найдем постоянную распространения
 |
(46.7) |
Так как
то р можно представить и так:
 |
(46.8) |
где
 |
(46.9) |
Найдем 
В соответствии с уравнением (46.6) имеем
 |
(46.10) |
Следовательно,
 |
(46.10,а) |
Производная
 . |
(46.11) |
Выражение (46.10,а) показывает, что вектор напряженности электрического поля в плоской волне при выбранном расположении координатных осей направлен вдоль оси x (орт 
). Таким образом, в плоской электромагнитной волне между 
и 
имеется пространственный сдвиг в 
(
направлено по оси x, а 
– по оси y).
Частное от деления p на γ принято называть волновым сопротивлением:
 |
(46.12) |
Волновое сопротивление измеряется в омах, зависит от свойств среды (
и 
) и угловой частоты 
. В соответствие с (46.10,а) и (46.11) проекция 
на ось x равна
где
и 
Проекция 
на ось y в соответствии с (46.6)
где
и 
Компоненты падающей 
и 
волны определяют вектор Пойнтинга 
, направленный вдоль положительного направления оси z. Следовательно, движение энергии падающей волны происходит вдоль положительного направления оси z. Компоненты отраженной волны 
и 
определяют вектор Пойтинга 
, направленный вдоль отрицательного направления оси z. Это означает, что отраженная волна несет с собой энергию вдоль отрицательного направления оси z. Волновое сопротивление 
можно трактовать как отношение 
. Волновое сопротивление является числом комплексным и имеет аргумент 
, поэтому сдвиг во времени между 
и 
для одной и той же точки поля тоже равен 
.
