Определение. Дана последовательность { xn } и последовательность натуральных чисел { nk }, 1£ n 1< .n 2< .…< .nk< .nk+ 1< .…, тогда числовая последовательность { yk }, называется подпоследовательностью последовательсти { xn }.
Пример: xn= sin n, nk= 2 k, = sin2 k.
Замечание. Отметим, что из условия nk < . nk+ 1следует, что
k nk (доказывается индукцией по k).
Теорема 1. Если(a — число или символ ), то для любой ее подпоследовательности { yk } ,,будет выполнено:.
Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов { xn }, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}, ч.т.д.
Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последавательность лежит на
[ a,b ]É { xn }.
Разделим отрезок [ a,b ] пополам, обозначим [ a 1,b 1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { xn }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a 1,b 1], его индекс обозначим n 1.
|
|
Представленная информация была полезной? ДА 61.19% НЕТ 38.81% Проголосовало: 1510 |
Разделим отрезок [ a 1,b 1] пополам, обозначим через [ a 2,b 2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { xn }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a 2,b 2] и имеющий индекс больший, чем n 1, его индекс обозначим n 2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность. Система отрезков [ ak,bk ]представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (bk-ak= (b-a)/2 k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ [ ak,bk ], то. Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).
Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе). Просто договоримся частичным пределом не считать.
Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.
Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.
Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.
Следствие. Если некоторая окрестность aсодержит конечное число членов последовательности, то aне является частичным пределом.
Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный).
Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть, тогда. Условие nk> . nk— 1можно обеспечить, используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.
|
|
|
