X-PDF

Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Поделиться статьей

Определение. Дана последовательность { xn } и последовательность натуральных чисел { nk }, 1£ n 1&lt .n 2&lt .…&lt .nk&lt .nk+ 1&lt .…, тогда числовая последовательность { yk }, называется подпоследовательностью последовательсти { xn }.

Пример: xn= sin n, nk= 2 k, = sin2 k.

Замечание. Отметим, что из условия nk &lt . nk+ 1следует, что

k nk (доказывается индукцией по k).

Теорема 1. Если(a — число или символ ), то для любой ее подпоследовательности { yk } ,,будет выполнено:.

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов { xn }, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}, ч.т.д.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последавательность лежит на

[ a,b ]É { xn }.

Разделим отрезок [ a,b ] пополам, обозначим [ a 1,b 1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { xn }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a 1,b 1], его индекс обозначим n 1.

Представленная информация была полезной?
ДА
59.31%
НЕТ
40.69%
Проголосовало: 752

Разделим отрезок [ a 1,b 1] пополам, обозначим через [ a 2,b 2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { xn }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a 2,b 2] и имеющий индекс больший, чем n 1, его индекс обозначим n 2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность. Система отрезков [ ak,bk ]представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (bk-ak= (b-a)/2 k). Общую точку обозначим c. Так как [ ak,bk ], то. Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе). Просто договоримся частичным пределом не считать.

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность aсодержит конечное число членов последовательности, то aне является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный).

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть, тогда. Условие nk&gt . nk 1можно обеспечить, используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
59.31%
НЕТ
40.69%
Проголосовало: 752

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет