Пусть U – компактное множество, а g 1,…, gm – непрерывные функции, gi: U ® .
Теорема (Гермейер). Пусть x0 – эффективная точка, причем gi (x 0)> .0 для всех i= 1,…, m. Тогда существуют положительные числа l1,…l m такие, что и x 0 является точкой максимума функции .
Доказательство. Положим Тогда
Пусть u – любая точка. Так как точка u 0 – эффективна, найдется номер i, для которого gi (u)£ gi (u 0), или, что то же самое, migi (u)£1. Значит, а это означает, что u 0 – одна из точек максимума функции .
Остается положить и заметить, что тогда u 0 – одна из точек максимума функции F (u). Теорема доказана.
К сожалению, нельзя утверждать, что всякая точка максимума функции будет эффективной точкой многокритериальной задачи. Пусть U – компактное множество, а g 1,…, gm – непрерывные функции, gi: U ® .
Теорема (Гермейер). Пусть u 0 – эффективная точка, причем gi (u 0)> .0 для всех i= 1,…, m. Тогда существуют положительные числа l1,…l m такие, что и x 0 является точкой максимума функции .
Доказательство. Положим Тогда
Пусть u – любая точка. Так как точка u 0 – эффективна, найдется номер i, для которого gi (u)£ gi (u 0), или, что то же самое, migi (u)£1. Значит, а это означает, что u 0 – одна из точек максимума функции .
|
|
Остается положить и заметить, что тогда u 0 – одна из точек максимума функции F (u). Теорема доказана.
К сожалению, нельзя утверждать, что всякая точка максимума функции будет эффективной точкой многокритериальной задачи.
Пример. Пусть U ={(u 1, u 2): 0£ u 1£1, 0£ u 2£1}, g 1(u)= u 1, g 2(u)= u 2. При точки максимума функции образуют отрезок
{(u 1, u 2): u 1=1, 0.5£ u 2£1}, но только одна его точка (1,1) является эффективной.
Теорема. Пусть существуют такие положительные числа l1,…l m, что и x 0 является точкой максимума функции . Тогда точка x 0 является слабо эффективной.
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется такая точка u 1, что gi (u 1)> . gi (u 0) для всех i =1,…, m. Но тогда F (u 1)> . F (u 0), что противоречит условию.
Пусть теперь множество U выпукло, а функции g 1,…, gm вогнуты.
Теорема (Карлин). Пусть x 0 – эффективная точка. Тогда существуют неотрицательные числа p 1,…, p m такие, что и x 0 является точкой максимума функции .
Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что gi (u)> .0 для всех i= 1,…, m. В силу теоремы Гермейера существуют положительные числа l1,…l m для которых u 0 реализует максимум функции .
Тогда (u 0, F (u 0)) является решением задачи математического программирования
,
u Î U, w Î .
В силу теоремы Куна–Такера найдутся такие неотрицательные числа a i, i= 1,…, m, для которых (u 0, F (u 0)) будет точкой максимума функции
на множестве U ´ . Но это возможно, только если
, (*)
а тогда u 0 является точкой максимума функции .
Представленная информация была полезной? ДА 58.67% НЕТ 41.33% Проголосовало: 1050 |
|
Остается заметить, что в силу равенства (*), по крайней мере, одно ai не равно нулю. А тогда мы можем положить .
Теорема. Пусть существуют положительные числа p 1,…, p m такие, что и u 0 является точкой максимума функции . Тогда точка u 0 является эффективной.
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется такая точка u 1, что gi (u 1)³ gi (u 0) для всех i =1,…, m, причем, по крайней мере, одно из этих неравенств не обращается в равенство. Умножая эти неравенства на pi и суммируя, получим неравенство F(u 1)> .F(u 0), что противоречит условию.
Нельзя утверждать, что всякая эффективная точка может быть найдена в результате максимизации функции с положительными коэффициентами p 1,…, p m.
Пример. Пусть , g 1(u)= u 1, g 2(u)= u 2.Максимум функции достигается в точке . В то же время, точка (1,0) является эффективной.
С другой стороны, при неотрицательных коэффициентах p 1,…, pm, точка максимума функции может быть неэффективной в многокритериальной задаче.
Пример. Пусть U ={(u 1, u 2): 0£ u 1£1, 0£ u 2£1}, g 1(u)= u 1, g 2(u)= u 2. Точки максимума функции F(u)=1× g 1(u)+0× g 2(u) образуют отрезок {(u 1, u 2): u 1=1, 0£ u 2£1}, а эффективной является только одна точка (1,1) этого отрезка.
Теорема. Пусть существуют неотрицательные числа p 1,…, p m такие, что и u 0 является точкой максимума функции . Тогда точка u 0 является слабо эффективной.
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется такая точка u 1, что gi (u 1)> . gi (u 0) для всех i =1,…, m. Умножая эти неравенства на pi и суммируя, получим неравенство F(u 1)> .F(u 0), что противоречит условию.
Пример
Подставим крайние точки единичного треугольника трехмерного пространства
((0,0,1) (0,1,0),(1,0,0)) в систему уравнений , затем полученные значения подставим в М и получим 3 прямы
М
Р
Max значение достигается при пересечении прямых 4-3Р и 6р+1, следовательно приравняв их найдет оптимальное значение р
4-3р=6р+1 → р = →
При (1,0,0) М =
При (0,1,0) М = 3
Значение М в точке (0,1,0) является максимальным и оптимальным по Парето