X-PDF

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной

Поделиться статьей

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [ a . b ]. Производная этой функции в некоторой точке х 0 Î [ a . b ] определяется равенством

.

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δ x, получим:

Δ y = f (x 0)·Δ x + a·Δ x.

Итак, бесконечно малое приращение Δ y дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f (х 0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δ x, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δ x. Главную часть приращения функции, т.е. f (х 0)·Δ x называют дифференциалом функции в точке х 0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f (x) в точке x, то произведение производной f (x) на приращение Δ x аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f (x)·Δ x (1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y = (x) = 1 и, следовательно, dy = dxx. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δ x. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.67%
НЕТ
41.33%
Проголосовало: 963

dy = f (x) dx

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f (x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции Δ y = f (xx) – f(x) можно представить в виде Δ y = A ·Δ x + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f (x)= А.

Действительно, имеем , и так как при Δ x →0, то .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

1.

2. .


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.67%
НЕТ
41.33%
Проголосовало: 963

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет