Построение графиков, содержащих модуль

Построение графика функции по графику функции

Известно, что

Область определения функции такая же, как и у функции , поэтому график функции получают из графика функции следующим образом.

Все точки графика функции , лежащие на оси Ох и выше ее остаются на месте. Все точки графика , лежащие ниже оси Ох, симметрично отображают относительно оси Ох.

Пример. Построим этим способом график функции .

Решение. Строим график функции . Сдвигаем точки графика на одну единицу масштаба вниз вдоль оси Оу. Получаем график функции . Затем точки графика , лежащие ниже оси Ох, и те значения, для которых у &lt .0 отбрасываем (Рис. 75). Получили график функции

Рис. 75 Рис. 76

Аналогично строят график функции

Строим график функции Сдвигаем график функции ,как жесткое тело, на 2 единицы масштаба, вниз вдоль оси Оу, получим график функции . График функции , лежащие ниже оси Ох, симметрично отображаем относительно оси Ох, те значения х, для которых у &lt .0 отбрасываем (Рис. 76).

Построение графика функции

по графику функции

Функция четная, так как График четной функции симметричен относительно оси Ох. Строят данный график следующим образом:

− строят график функции для всех х 0 .

− точки, лежащие слева от оси Оу отбросывают .

− все точки графика функции, лежащие на оси О у и справа от нее оставляют на месте .

− отображают правую часть графика симметрично относительно оси Оу.

Пример. Построим график функции

Решение. Строим график функции у=х –1. Часть графика, которая лежит левее оси О у, отображаем. Часть графика, лежащую правее Оу зеркально отобразим относительно оси Оу (Рис. 77).

Рис. 77 Рис. 78

Пример. Построим график функции

Решение. Построим график функции Для этого для квадратного трехчлена выделим полный квадрат:

Строим график функции (Рис. 78)

Далее строим график функции Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, отображаем, для нее у &lt .0 и строим часть графика симметричную отображенной части относительно оси Ох (Рис. 79).

Рис. 79 Рис. 80

Ту часть графика, которая расположена левее оси Оу, отбрасываем и строим кривую симметрично оставшейся части относительно оси Оу (Рис. 80).

Пример. Построение графика квадратичной функции с помощью графика функции Выясним, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы построить график функции путем преобразования графика функции

Решение. Выделим полный квадрат:

Функция представлена в виде . Рассмотрим случай Необходимо выполнить следующие преобразования:

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси на единичных отрезков влево, если вправо, если получим график вспомогательной функции

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси , на единичных отрезков вверх, если вниз, если получим график вспомогательной функции

− осуществить растяжение (сжатие) графика функции с коэффициентом получим график функции

Если необходимо еще осуществить симметричное отображение графика функции относительно оси .

Заметим, что вместо параллельного переноса графика функции вдоль оси на единичных отрезков влево, если вправо, если можно осуществить перенос оси на единичных отрезков вправо, если влево, если вместо параллельного переноса графика функции вдоль оси , можно осуществить перенос оси на единичных отрезков вниз, если вверх, если

Пример. Построим график функции путем преобразования графика функции

Решение. Выделим полный квадрат:

Функция представлена нами в виде Необходимо выполнить следующие преобразования:

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси на 1 единичный отрезок вправо .

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси , на единичных отрезка вверх .

− осуществить растяжение (сжатие) графика функции с коэффициентом 2 .

− осуществить симметричное отображение графика функции относительно оси .

Таким образом,

. Построение графика функции показано на рисунках 81-85.

Рис. 82

Рис. 81

Заметим, что вместо параллельного переноса графика функции вдоль оси на 2 единичных отрезка вправо, можно осуществить перенос оси на 2 единичных отрезка влево, вместо параллельного переноса графика функции вдоль оси , можно осуществить перенос оси на 1 единичный отрезок вверх.

Рис. 83 Рис. 84 Рис. 85

Пример. Построение графика дробно-линейной функции по графику функции Выясним, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы построить график функции путем преобразования графика функции

Решение. Выполним следующие преобразования:

Функция представлена в виде

Необходимо выполнить следующие преобразования:

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси на единичных отрезков влево, если вправо, если получим график вспомогательной функции

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси , на единичных отрезков вверх, если вниз, если получим график вспомогательной функции

− осуществить растяжение (сжатие) графика функции с коэффициентом получим график функции

Если необходимо осуществить симметричное отображение графика функции относительно оси .

Заметим, что вместо параллельного переноса графика функции вдоль оси на единичных отрезков, можно осуществить перенос оси на единичных отрезков вправо, если влево, если вместо параллельного переноса графика функции вдоль оси , можно осуществить перенос оси на единичных отрезков вниз, если вверх, если

Пример. Построим график функции путем преобразования графика функции

Решение. Выполним следующие преобразования:

Функция представлена нами в виде Необходимо выполнить следующие преобразования:

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси на 0,5 единичного отрезка влево, либо осуществить параллельный перенос оси на 0,5 единичного отрезка вправо .

− осуществить параллельный перенос графика функции вдоль оси , на единичных отрезка вниз, либо осуществить параллельный перенос оси на единичных отрезка вверх .

− осуществить растяжение (сжатие) графика функции с коэффициентом .

Таким образом,

Построение графика функции показано на рисунке 86.

Рис. 86