X-PDF

Поверхностный интеграл первого рода

Поделиться статьей

Пусть функция определена и непрерывна на некоторой поверхности в пространстве Разобьем поверхность произвольным образом на n частей с площадями (рис. 8.1). В каждой частичной области выберем произвольную точку и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции в области (на поверхности) . Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей :

.

Рис. 8.1. Разбиение поверхности на частичные области в случае

поверхностного интеграла первого рода

Определение. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

.

Функция называется интегрируемой по поверхности , сама поверхностью интегрирования.

Определение. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость и при переходе от точки к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно.

Поверхность, состоящая из конечного числа гладких кусков, которые соединены непрерывно, называется кусочно-гладкой.

Теорема 8.1 (существования поверхностного интеграла первого рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности , интегрируема по этой поверхности.

Замечание. Если положить всюду на поверхности , то из определения поверхностного интеграла первого рода легко получить формулу для вычисления площади S поверхности с помощью поверхностного интеграла первого рода:

или

.

Основные свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода:

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 775

Свойство 3. Если поверхность разбить на две поверхности и , то интеграл по всей поверхности будет равен сумме интегралов по поверхностям и :

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна вдоль гладкой поверхности , то на этой поверхности существует такая точка , что справедлива формула

,

где S – площадь поверхности .

Свойство 5. При изменении стороны поверхности интегрирования величина интеграла не изменяется:

,

где и – стороны поверхности интегрирования .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла следующим способом.

Если поверхность задана уравнением и область G – проекция поверхности на плоскость Oxy (рис. 8.1), то

.

Аналогично записываются формулы, выражающие интеграл по поверхности через двойные интегралы по проекциям на плоскости Oyz и Oxz.

Пример. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где – часть плоскости , лежащая в первом октанте (рис. 8.2).

Из уравнения поверхности имеем

.

Поверхность проектируется на плоскость Oxy в область G, ограниченную прямыми .

По формуле вычисления поверхностного интеграла первого рода имеем:

Рис. 8.2. Пример вычисления поверхностного интеграла первого рода


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 775

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет