Пусть векторная функция
определена и непрерывна на некоторой поверхности 
в пространстве 
Разобьем поверхность 
произвольным образом на n частей 
с площадями 
(рис. 8.3). В каждой частичной области 
выберем произвольную точку 
и составим сумму
,
где 
, 
– единичная нормаль к поверхности 
в точке 
.
Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции 
в области (на поверхности) 
.
Обозначим через 
наибольший из диаметров частичных областей 
:
.
Рис. 8.3. Разбиение поверхности 
на частичные области в случае
поверхностного интеграла второго рода
Определение. Поверхностным интегралом второго рода от функции 
по поверхности 
называется предел интегральных сумм при 
, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности 
на частичные области 
, ни от выбора в каждой из них точки 
:
или в другой записи:
,
где векторный элемент поверхности
и скалярное произведение
.
Функция
называется интегрируемой по поверхности 
, сама 
– поверхностью интегрирования.
Теорема 8.2 (существования поверхностного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция 
, непрерывная на кусочно-гладкой поверхности 
, интегрируема по этой поверхности.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам поверхностного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:
При изменении стороны поверхности интегрирования интеграл изменяет знак (так как переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположное):
,
где 
и 
– стороны поверхности интегрирования 
.
Простейший физический смысл поверхностного интеграла второго рода – количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность 
с установившейся скоростью 
.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов следующим способом.
Если 
– выражения, полученные из уравнения поверхности 
разрешением относительно соответствующих координат . 
– проекции поверхности 
соответственно на плоскости 
, 
, 
. 
– единичная нормаль к поверхности 
в точке 
(рис. 8.3), то
,
где знаки у двойных интегралов соответствуют знакам направляющих косинусов 
нормали 
к поверхности 
.
Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где 
– верхняя сторона плоскости 
, отсеченная плоскостями 
и лежащая в первом октанте (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Пример вычисления поверхностного интеграла второго рода
Обозначим через 
– проекции поверхности 
на плоскости 
, 
, 
соответственно. Как видно из рис. 8.4, направляющие косинусы нормали 
к поверхности 
, а 
, так как плоскость 
параллельна оси Oy. Следовательно, по формуле вычисления поверхностного интеграла второго рода получим:
.
