Пример.
Образующий (порождающий, производящий) полином циклического кода
Множество кодовых слов циклического кода можно указать, задав любое ненулевое кодовое слово. НО, обычно для задания циклического кода указывают образующий полином g(x), который полностью определяет код. Степень образующего полинома равна (n-k), а свободный член V0 всегда равен 1.
Полиномы кодовых слов циклического кода делятся без остатка на свой образующий полином g(x).
Выбор g(x) для построения циклического кода длины n.
Любой полином, который является делителем полинома (xn+1) можно использовать в качестве образующего. С ростом n число возможных циклических кодов растет. На практике при построении циклических кодов пользуются таблицами разложения полиномов (xn+1) на неприводимые полиномы. Любой неприводимый полином, входящий в разложение, или произведение нескольких неприводимых полиномов можно выбрать в качестве образующего полинома, который дает соответствующий циклический код.
Требуется определить, какие циклические коды можно построить при длине кодового слова n=7.
|
|
|
Полином x7+1 можно разложить на три неприводимых сомножителя:
x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)
Можно построить следующие ЦК:
1. (7,6) с g(x)=x+1
2. (7,1) с g(x)= (x3+x2+1)(x3+x+1)=x6+x4+x3+x5+x3+x2+x3+x+1=
=x6+x5+x4+x3+x2+x+1
3. (7,4) c g(x)= x3+x2+1
4. (7,4) c g(x)= x3+x+1
5. (7,3) c g(x)= (x+1)(x3+x2+1)=x4+x3+x+x3+x2+1=x4+x2+x+1
6. (7,3) c g(x)= (x+1)(x3+x+1)=x4+x2+x+x3+x+1=x4+ x3+x2+1
Образующий полином используют для определения образующей матрицы циклического кода:
1. В качестве первой строки матрицы записывают комбинацию, соответствующую g(x), дополнив ее нулями слева для получения кодового слова длиной n символов.
2. Вторая строка – x*g(x) (циклический сдвиг первой строки на одну позицию влево).
3. Третья строка – x2*g(x) (циклический сдвиг первой строки на две позиции влево).
……………………………………………………………………………………..
7. К-я строка – xk-1*g(x) (циклический сдвиг первой строки на (k-1) позицию влево).
 |
Задан код (7,4) с образующим полиномом g(x)=x3+x+1. Требуется записать его образующую матрицу.
Полученную матрицу можно преобразовать к каноническому виду путем суммирования строк (по модулю 2) и перестановки строк местами.
