1. Найти производную четвертого порядка функции y = ln x.
.
2. 
.
3. Найти производную n -го порядка функции y = ek x .
y = k ·ekx, y = k 2·ekx, y = k 3·ekx, …, y (n) = k n·ekx.
4. Найти производную n -го порядка функции y = sin x.
Имеем
Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s =s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения есть v= s(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.
В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t +Δ t. Ему соответствует значение скорости v 1 = v (t +Δ t). Следовательно, приращению времени Δ t соответствует приращение скорости Δ v = v 1 – v = v (t + Δ t) – v (t). Отношение 
называется средним ускорением за промежуток времени Δ t.
Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δ t →0:
.
Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s . Учитывая это, имеем:
a = v (t) = (s ) = s (t),
т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени
a = S(t).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy = f (x) dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f (x), а dx = Δ x от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y: d (dy)= d 2y.
Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому
d 2y = d (dy) = d [ f (x) dx)] = [ f (x) dx ] dx = f (x) dx·dx = f (x)(dx)2.
Принято записывать (dx)2 = dx 2. Итак, d 2у = f (x)d x 2.
Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
d 3y = d (d 2y)=[ f (x) dx 2] dx = f (x) dx 3.
Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: d n(y)= d (d n-1y)
| d ny = f (n)(x) dx n |
Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
