Евклидово пространство
Евклидово пространство – это линейное пространство с некоторым образом введенной операцией «скалярного произведения».
1°. Определение и простейшие свойства.
Определение 1. Линейное пространство 
над полем вещественных чисел R называется евклидовым пространством E, если 
определено правило, ставящее им в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением 
и 
, обозначаемое 
, и удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) коммутативность: 
выполняется 
.
2) дистрибутивность: 
выполняется 
.
3) 
и 
выполняется 
.
4) 
выполняется 
, причем 
Примеры.
1) Множество геометрических векторов 
с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см. свойства скалярного произведения) образует евклидово пространство.
2) Множество 
непрерывных на отрезке 
функций образует евклидово пространство, если скалярное произведение задается формулой: 
Свойство 1) скалярного произведения очевидно, 2) и 3) следуют из линейности интеграла, 4) следует из того, что 
от неотрицательной функции неотрицателен и равен нулю только если 
.
3) Пространство 
упорядоченных 
вещественных чисел образует евклидово пространство со скалярным произведением, задаваемым следующей формулой: если 
и 
из 
, то
(1)
Свойство 1) − очевидно, свойства 2) и 3) следуют из определения сложения векторов в 
и умножения на число, т.е.
.
.
Свойство 4) следует из того, что 
и равно нулю лишь тогда когда 
, т.е. 
.
4) Пусть 
− матрица над 
ипусть 
– симметричная, т.е. 
. Для любого 
используем 
для построения квадратичной формы 
. Будем предполагать, что такая форма положительно определена, т.е. 
она больше нуля и равна нулю лишь если 
.
Такую матрицу 
можно использовать для задания скалярного произведения в 
следующим образом: 
,
. (2)
Свойство 1) следует из симметричности матрицы 
, 2) и 3) − из свойств вещественных чисел, 4) − из положительной определенности соответствующей квадратичной формы.
Замечание 1. Формула (1) Þ из (2) при 
− единичная матрица.
В общем виде скалярное произведение можно задать с помощью квадратичной формы, определенной в линейном пространстве. А именно, пусть 
– положительно определенная квадратичная форма, 
– её полярная форма. Тогда в силу свойств квадратичной формы имеем:
1°. 
.
2°. 
.
3°. 
.
4°. 
.
Как видно, эти аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения Þ
Предложение 1. Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение. Þ
Определение скалярного произведения может быть сформулировано как:
Определение 1. Евклидовым пространством называется линейное пространство, в котором выбрана какая–либо фиксированная положительно определенная форма 
. Значение 
соответствующей ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением векторов 
(оно ранее обозначалось как 
, а не 
).
Теорема 1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых элементов 
евклидового пространства 
справедливо неравенство:
. (3)
Неравенство (3) называется неравенством Коши–Буняковского.
Доказательство. По аксиоме 4) евклидова пространства 
справедливо
//так как квадратный трехчлен по 
неотрицателен 
дискриминант 
// 
■
Определение 2. Линейное пространство 
называется нормированным, если определено правило, по которому 
ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое 
, удовлетворяющее следующим трем аксиомам:
1) 
.
2) 
.
3) 
справедливо 
(неравенство треугольника или неравенство Минковского).
Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму элемента 
определить равенством
Доказательство. Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно,
. ■
