X-PDF

Примеры линейных операторов и их матриц

Поделиться статьей

Если A: R 2 R 2 или A: R 3 R 3 – линейный оператор, действующий в пространстве R 2 или R 3, то его матрица имеет вид

или

соответственно. Этот оператор переводит векторы из R 2 в векторы из R 2 или векторы из R 3 в векторы того же пространства R 3.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть Aоператор подобия, отображающий вектор x R 3 в некоторый параллельный ему вектор y = a x. Линейность этого оператора очевидна.

Если i, j, k – базис пространства R 3, то

Ai = a i = a i + 0 j + 0 k = .

Aj = a j = 0 i + a j + 0 k = .

Ak = a k = 0 i + 0 j + a k = .

Значит, матрица этого оператора имеет вид

.

При областью значений оператора подобия является, очевидно, все пространство R 3, а ядром – нулевой вектор, т. к. только этот вектор удовле-творяет при преобразовании подобия равенству Ax = 0. Ясно, что ранг оператора подобия dim (im A) = 3, а его дефект dim (ker A) = 0.·

Пример 2. Пусть Aповорот векторов плоскости R 2 вокруг начала координат на угол j против часовой стрелки. Это преобразование линейно, т. к., если векторы a и b сначала сложить и затем повернуть их сумму a + b на угол j, или, если оба вектора a и b повернуть сначала на угол j и затем их сложить, то получим тот же результат. Аналогично, не имеет значения, умножить ли вектор a на число a, а затем повернуть его на угол j или сделать это в обратном порядке.

Найдем матрицу оператора поворота. Для этого обратимся к рис. 10.1, из которого видно, что

Ai = i + j = i + j .

Aj = i + j = – i + j.

Так что искомая матрица оператора поворота в базисе i, j имеет вид

.

 
 

Используя матрицу оператора, получим формулы преобразования координат вектора на плоскости при повороте ее на угол j – так называемые формулы преобразования поворота. Пусть x = – вектор на плоскости, тогда координаты у 1, у 2 вектора Ax при повороте плоскости на угол j определяются из соотношений

y = А x

Представленная информация была полезной?
ДА
58.58%
НЕТ
41.42%
Проголосовало: 985

Ясно, что областью значений оператора поворота является вся плоскость R 2, а ядром – нулевой вектор, т. е. dim (im A) = 2, dim (ker A) = 0.·

Пример 3. Пусть Aзеркальное отражение (симметрия) векторов плоскости R 2 относительно оси Ox. Линейность такого преобразования очевидна. Из рис. 10.2 следует, что Ai = i = 1 i + 0 j, Aj = – j = 0 i – 1 j, поэтому матрица данного оператора имеет вид

 
 

Пример 4. Пусть Aзеркальное отражение векторов пространства R 3 относительно плоскости Oxy. При этом Ai = i, Aj = j, Ak = – k, так что матрица данного оператора имеет вид

.

Очевидно, что im A = R 3, а ker A = { 0 }.·

Пример 5. Пусть Aортогональное проектирование векторов пространства R 3 на плоскость Oxy. Линейность этого отображения следует из линейных свойств проекций векторов. Так как при этом имеем Ai = i, Aj = j, Ak = 0, то матрица данного оператора имеет вид

.

Очевидно, в этом случае областью значений оператора является плоскость Oxy, а ядром его служат все векторы, перпендикулярные этой плоскости, так что dim (im A) = 2, dim (ker A) = 1.·

Пример 6. Пусть A: R 3® R 2 – линейный оператор, для которого Ax = y, где

y = , x = .

Найти матрицу оператора A в базисах i, j, k пространства R 3 и i, j пространства R 2.

Решение. Согласно условию, матрица А имеет две строки и три столбца:

.

По определению,

= Ai = . = Aj = . = Аk = .

Так что


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.58%
НЕТ
41.42%
Проголосовало: 985

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет