X-PDF

Примеры приведения матриц к жордановой форме

Поделиться статьей

. . Корни характеристического уравнения: l1, 2, 3 = 1. .

Собственные векторы А по λ = 1, т.е. ядро А 1:

, значит базис N (А 1): .

Образ оператора А 1 М (А 1) находим из соотношений:

. базис М (А 1) f 3(1, 2, –1), и т.к. f 3 = 2 f 1f 2, то f 3Îℒ(f 1, f 2).

Тогда: базисом будет вектор . вектором, дополняющим базис до базиса будет любой из векторов , например вектор . а базис дополнить до базиса нечем, т.к. .

Прообраз А 1у = (1, 2, –1) Þ у 1у 2у 3 = 1, например (1, 0, 0).

Кстати: система А 1у = (1, 0, 0) решений не имеет, т.е. прообраза второго слоя для вектора (1, 2, –1) нет.

Следовательно, жорданов базис оператора А: .

И, окончательно, имеем жорданову форму матрицы оператора А: .

2°. Найти нормальную жорданову форму матрицы линейного оператора А = и базис, в котором матрица оператора имеет жорданову форму.

Δ. Для матрицы линейного оператора А = составим и решим характеристическое уравнение: det(A — l E) = 0.

Получим:

= .

Тогда: = 0 и, следовательно, l1, 2 = –1 . l3, 4 = 1.

a) Рассмотрим оператор А -1 = А -l E = А + E = . Ищем собственные векторы оператора А при l = — 1, т. е. ядро оператора А -1. Для этого решим систему четырех линейных однородных уравнений с матрицей А -1. Из третьего и четвертого уравнений системы видно, что . Тогда можно легко установить, что . Вектор f 1 (1, 1, 0, 0) — единственный собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению l = -1 и образует базис ядра оператора А –1. Далее ищем базис образа оператора А –1:

.

Отметив, что для векторов f 2, f 3, f 4 существует соотношение: f 3 + f 4 f 2 = (0, 0, 0, 1), находим базис образа оператора А –1:

{j1 (1, 1, 0, 0), j2 (0, –1, 1, 1), j3 (0, 0, 0, 1).

Отметив, что векторы f 1 и совпадают, делаем вывод о том, что этот вектор образует базис пересечения образа и ядра оператора А -1.

Кратность корня λ = -1 равна двум, а собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, только один. Поэтому, полагаем g 1 равным вектору , а еще один вектор жорданового базиса ищем, как прообраз первого слоя для . Решаем неоднородную систему линейных уравнений и находим второй вектор g 2(1, 3/4, 0, 0) жорданового базиса, соответствующего собственному значению l = -1 кратности два. При этом, что характерно, у вектора нет прообраза второго слоя, ибо система с расширенной матрицей

решений не имеет. Это и не случайно, потому что собственному значению l= -1 кратности 2 должно соответствует два вектора жорданового базиса оператора А:

g 1(1, 1, 0, 0) . g 2(1, 3/4, 0, 0).

При этом отметим, что:

.

б) Теперь рассмотрим собственное значение l = 1 и, соответственно, оператор А 1= А + Е:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.38%
НЕТ
41.62%
Проголосовало: 949

.

Найдем ядро этого оператора, т.е. собственные векторы оператора А при λ = 1.

.

Вектор f 1 (1, 1, 1, 1) образует базис ядра оператора А 1 и является единственным собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению l = 1.

Ищем базис образа М (А 1) оператора А 1 .

.

Отмечая, что f 1 = f 2 + f 3 + f 4, заключаем: базисом пересечения ядра и образа оператора A 1 является вектор f 1.

Так как собственный вектор только один, а собственное значение имеет кратность 2, требуется найти еще один вектор жорданового базиса. Поэтому полагаем g 3 равным вектору y1(1, 1, 1, 1), а еще один вектор жорданового базиса ищем как прообраз первого слоя для y1(1, 1, 1, 1). Для этого решаем неоднородную систему линейных уравнений A 1g 4 = j1 и находим вектор g 4(0, 1/2, 0, 1/2) жорданового базиса, соответствующего собственному значению l = 1 кратности два. При этом у вектора y1(1, 1, 1, 1) нет прообраза второго слоя, ибо система A 1y = g 4 с расширенной матрицей решений не имеет. И вновь это не случайно, потому что собственному значению l= 1 кратности 2 должно соответствовать два вектора жорданового базиса, а они уже найдены:

g 3(1, 1, 1, 1) . g 4(0, 1/2, 0, 1/2).

При этом отметим, что: Ag 3 = g 1, Ag 4 = g 3 + g 4. Для оператора А найден жорданов базис: . При этом А G = . ▲

. . det(A — l E) = 0 l1, 2 = 1 . l3, 4 = 2.

Δ a) Рассмотрим оператор А 1: А 1E = . Ищем собственные векторы оператора А при l = 1, т.е. ядро оператора А 1.

. Векторы { f 1, f 2} образуют базис N (A 1).

Далее ищем базис .

Так как векторы f 1, f 2, f 3, f 4 – линейно независимы, то , а векторы дополняющие базис до базиса – векторы :

Кратность корня λ = 1 равна двум, поэтому имеем уже два вектора жорданового базиса А:

g 1(1, 0, 1, 0) . g 2(0, 1, 0, 1).

б)Рассмотрим оператор А 2= А -2 Е: , и найдем ядро оператора А 2 т.е. собственные вектора А при λ = 2. . Вектор f 1(0, 0, –2, 1), являющийся решением этой системы является одновременно и базисом ядра .

Ищем базис образа оператора А 2 М (А 2).

Þ .

Тогда, вектор (0, 0, –2, 1) это вектор жорданового базиса, а второй вектор – прообраз вектора (0, 0, –2, 1), если он есть. Система для его нахождения: А 2у = (0, 0, –2, 1).

Решаем систему А 2у = (0, 0, –2, 1), для нахождения прообраза 1-го слоя вектора (0, 0, –2, 1) Получаем: .

Решением системы является, например, вектор (1, –1, 0, 0).

Тогда g 3(0, 0, –2, 1) . g 4(1, ­1, 0, 0).

Для оператора А найден жорданов базис: .

При этом т.е. жорданова форма оператора А: . ▲.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.38%
НЕТ
41.62%
Проголосовало: 949

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет