Пример 1. Построить проекции точки, лежащей на плоскости общего положения (рисунок 1а).
Свойство: если точка лежит на плоскости, то проекции точки лежат на одноимённых проекциях прямой плоскости.
Алгоритм решения:
— построить прямую, принадлежащую заданной плоскости (рисунок 1б) .
— построить точку, принадлежащую этой прямой (рисунок 1в).
|
а) б) в)
Рисунок 1
Пример 2. Построить проекции прямой, параллельной заданной прямой общего положения (рисунок 2а).
Свойство: если две прямые параллельны, то одноимённые проекции прямых параллельны.
Алгоритм решения:
— построить проекции прямой параллельно одноимённым проекциям заданной прямой (рисунок 2б).
|
а) б)
Рисунок 2
Пример 3. Построить проекции прямой общего положения, перпендикулярной к заданной линии уровня (рисунок 3а).
Свойство: если две прямые линии (одна линия уровня, а другая – общего положения) взаимно перпендикулярны, то проекция прямой общего положения перпендикулярна неискажённой проекции прямой линии уровня.
|
|
|
Алгоритм решения:
— построить проекцию прямой общего положения перпендикулярно неискажённой проекции линии уровня (рисунок 3б) .
— построить вторую проекции прямой общего положения произвольно (рисунок 3в).
а) б) в)
Рисунок 3
Пример 4. Построить проекции пирамиды по заданным координатам вершин (рисунок 4).
Алгоритм решения:
— построить проекции вершин (точек) пирамиды (рисунок 4а) .
— построить проекции ребер (прямых) пирамиды с учетом их видимости (рисунок 4б).
|
а) б)
Рисунок 4
Пример 5. Построить проекции плоскости, проходящей через заданную точку и касающейся поверхности кругового конуса. (рисунок 5а).
Алгоритм решения:
— построить плоскость уровня, проходящую через заданную точку и пересекающую конус по окружности (рисунок б) .
— построить касательную к окружности и проходящую через заданную точку (рисунок в) .
— построить образующую конуса проходящую через его вершину и точку касания(касательная плоскость определена касательной и образующей) (рисунок 5г).
|
а) б) в) г)
Рисунок 5
Пример 6. Построить проекции точки, принадлежащую поверхности сферы (рисунок 6а).
Свойство: если точка лежит на поверхности, то она лежит на линии принадлежащей этой поверхности.
Алгоритм решения:
— построить линию (параллель), принадлежащую поверхности сферы (рисунок 6б) .
— построить точку принадлежащую этой линии (рисунок 6в).
|
а) б) в)
Рисунок 6
Пример 7. Построить проекции линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения (рисунок 7а).
|
|
|
Свойство: если проецирующая плоскость пересекает плоскость общего положения, то одна проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости.
Алгоритм решения:
— построить точки пересечения проецирующей плоскости с двумя прямыми плоскости (рисунок 7б) .
— соединить две полученные точки прямой линией (рисунок 7в).
|
а) б) в)
Рисунок 7
Пример 8. Построить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (рисунок 8а).
Свойство: если прямая пересекает плоскость, то одна из проекций прямой пересекает одноименную проекцию конкурирующей с ней прямой
плоскости.
Алгоритм решения:
— построить плоскость-посредник частного положения, проходящую через заданную прямую (проекции прямой и плоскости совпадают) и построить прямую пересечения плоскости-посредника с заданной плоскостью (рисунок 8б) .
|
— построить точку пересечения прямой с плоскостью, как результат пересечения конкурирующих прямых (заданной и прямой пересечения). Определить видимость проекций прямой и плоскости (с помощью конкурирующих точек) на каждой плоскости проекций (рисунок 8в).
а) б) в)
Рисунок 8
Пример 9. Определить кратчайшее расстояние между двумя точками (рисунок 9а).
Расстояние между двумя точками равно длине отрезка прямой линии, соединяющей эти точки.
Свойство: расстояние между двумя точками проецируется в истинную величину на ту плоскость проекций, по отношению к которой
отрезок, соединяющий эти точки, является прямой уровня.
Алгоритм решения:
— построить проекции расстояния между точками (рисунок 9б) .
— преобразовать комплексный чертеж так, чтобы заданная прямая, соединяющая две точки, стала линией уровня (рисунок 9в).
Полученное решение позволяет измерить угол a наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций.
Пример 10. Определить угол между пересекающимися прямыми линиями (рисунок 10а).
Свойство: угол между пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину на ту плоскость проекций, по отношению к которой эти прямые являются линиями уровня.
Алгоритм решения:
— построить проекции горизонтали и проекции радиуса окружности, по которой перемещается вершина угла (методом прямоугольного треугольника) и определить величину радиуса окружности (рисунок 10б) .
— построить истинную величину угла, используя метод вращения вокруг линии уровня (рисунок 10в).
|
а) б в
Рисунок 9
|
а) б) в)
Рисунок 10
Пример 11. Построить развертку пирамидальной поверхности (рисунок 11а).
Алгоритм решения (способ триангуляции):
— определить размеры сторон каждой грани (способом прямоугольного треугольника или одним из способов преобразования комплексного чертежа) (рисунок 11б) .
— построить композицию смежных граней на плоскости (рисунок 11в) .
а) б) в)
Рисунок 11
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
Задачи для решения приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Условия задач
1. Определить положение точек относительно плоскостей проекций.  |
2. Определить положение прямых относительно плоскостей проекций.  |
Продолжение таблицы 3
3. Определить положение плоскостей относительно плоскостей проекций.  |
4. Определить положение пар точек относительно друг друга.  |
5. Определить взаимное положение точки и прямой по их проекциям.  |
6. Определить взаимное положение прямых линий по их проекциям..  |
Продолжение таблицы 3
7. Определить взаимное положение прямой и плоскости по их проекциям. |
8. Определить взаимное положение точки и плоскости по их проекциям. | ||
9. Определить взаимное положение плоскостей по их проекциям.  |
10. Построить три проекции точки по заданным координатам A(10,15,20).  |
|
|
|
Продолжение таблицы 3
11. Построить третью проекцию точки A координатным способом и с помощью постоянной прямой чертежа.
|
12. Построить по произвольным параметрам проекции точек A, B, C так, чтобы точка A лежала в плоскости P1, точка B лежала в плоскости P2, а точка C была равноудалена от плоскостей проекций P1, P2 и P3. |
||||
13. Построить проекции точки, лежащей на заданной прямой линии общего положения.  |
14. Построить проекции точки, лежащей на заданной проецирующей плоскости.
|
Продолжение таблицы 3
15. Построить проекции проецирующей плоскости, проходящей через заданную прямую линию общего положения.  |
16. Построить проекции прямой уровня, лежащей на заданной плоскости общего положения.  |
17. Построить проекции точки, лежащей на заданной плоскости общего положения.  |
18. Построить проекции плоскости, параллельной заданной проецирующей плоскости.  |
Продолжение таблицы 3
19. Построить проекции прямой, параллельной заданной прямой общего положения.  |
20. Построить проекции прямой, параллельной заданной плоскости общего положения.  |
21. Построить проекции прямой, перпендикулярной заданной проецирующей плоскости.  |
22. Построить проекции линии уровня, перпендикулярной заданной прямой общего положения.  |
Продолжение таблицы 3
23. Построить проекции прямой, перпендикулярной заданной плоскости общего положения.  |
24. Построить проекции точки, находящейся от заданной проецирующей плоскости на заданном расстоянии (20 мм).  |
25. Построить проекции проецирующей плоскости, находящейся от заданной точки, на заданном расстоянии (20 мм).  |
26. Построить проекции проецирующей плоскости, находящейся от заданной прямой на заданном расстоянии (20 мм).  |
Продолжение таблицы 3
27. Построить проекции точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью.  |
28. Построить проекции линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения.  |
29. Построить проекции точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.  |
30. Построить линию пересечения двух плоскостей, занимающих общее положение.  |
Продолжение таблицы 3
|
|
|
31. Определить расстояние между двумя точками.  |
32. Определить расстояние между точкой и плоскостью.  |
33. Определить расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.  |
34. Определить расстояние между параллельными плоскостями.  |
Продолжение таблицы 3
35. Определить расстояние между точкой и прямой.  |
36. Определить величину угла между двумя пересекающимися прямыми.  |
37. Определить величину угла между двумя скрещивающимися прямыми.  |
38. Определить величину двугранного угла между двумя пересекающимися плоскостями.  |
Продолжение таблицы 3
39. Построить проекции точки, находящейся от заданной плоскости общего положения на заданном расстоянии (15 мм).  |
40. Построить проекции точки, находящейся от заданной прямой на заданном расстоянии (15 мм).  |
41. Построить проекции прямой общего положения, находящейся от заданной точки на заданном расстоянии (15 мм).  |
42. Построить проекции прямой общего положения, параллельной заданной прямой и удаленной от неё на заданное расстояние (15 мм).  |
Продолжение таблицы 3
43. Построить проекции плоскости общего положения, находящейся от заданной точки на заданном расстоянии (15 мм).  |
44. Построить проекции прямой параллельной плоскости общего положения и находящейся от неё на заданном расстоянии (15 мм).  |
45. Построить три проекции пятигранной пирамиды по заданному основанию и вершине.  |
46. Построить три проекции цилиндра вращения по заданному основанию и высоте.  |
Продолжение таблицы 3
47. Построить три проекции конуса вращения по заданному основанию и вершине.  |
48. Построить три проекции сферы по заданному радиусу (15 мм) и центру.  |
49. Построить две проекции открытого тора, образованного заданной окружностью и осью вращения (горизонтально-проецирую-щей прямой).  |
50. Построить проекции точек, принадлежащих поверхности призмы (невидимые точки обозначают в круглых скобках).  |
Продолжение таблицы 3
51. Построить проекции точек, принадлежащих поверхности пирамиды.  |
52. Построить проекции точек, принадлежащих поверхности сферы.  |
|||
53. Построить проекции линии, принадлежащей поверхности цилиндра.
|
54. Построить проекции линии, принадлежащей поверхности конуса.  |
Продолжение таблицы 3
55. Построить проекции линии, принадлежащей поверхности сферы.  |
56. Построить проекции винтовой линии, принадлежащей поверхности цилиндра (шаг винтовой линии равен высоте цилиндра).  |
57. Построить точки пересечения прямой общего положения с поверхностью пирамиды.  |
58. Построить точки пересечения прямой общего положения с поверхностью конуса.  |
Продолжение таблицы 3
59. Построить точки пересечения окружности с поверхностью сферы.  |
60. Построить проекции линии пересечения сферы с горизонтально-проецирующей призмой.  |
61. Построить проекции линии пересечения (кривую Вивиани) полусферы с фронтально- проецирующим цилиндром  |
62. Построить линию пересечения конуса с цилиндром (способом концентрических сфер).  |
Окончание таблицы 3
63. Построить развертку поверхности способом нормального сечения.  |
64. Построить развертку поверхности способом триангуляции (треугольников).  |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решая задачи начертательной геометрии, студенты учатся моделировать на чертеже проективные, аффинные и метрические свойства пространственного объекта, а также по известным свойствам проекций выявлять геометрические свойства изображенного объекта и выполнять на чертеже дополнительные геометрические построения.
Умение решать задачи является лучшим критерием оценки глубины изучения программного материала и его усвоения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Середа В.Г. Начертательная геометрия. Практикум для студентов: учеб. пособие / В.Г. Середа, А.Ф. Медведь. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2008. – 122 с.
2. Медведь А.Ф., Середа В.Г. Моделирование структуры геометрических объектов: методические указания к выполнению расчетно-графического задания. – Севастополь: СевГУ, 2016. – 20 с.
3. Медведь А.Ф., Середа В.Г. Моделирование точек и линий на поверхностях геометрических тел: методические указания к выполнению расчетно-графического задания. – Севастополь: СевГУ, 2016. – 16 с.
4. Медведь А.Ф., Середа В.Г. Моделирование сечений, пересечений и разверток поверхностей: методические указания к выполнению расчетно-графического задания. – Севастополь: СевГУ, 2016. – 28 с.
5. Середа В.Г. Медведь А.Ф. Моделирование метрических характеристик объектов: методические указания к выполнению расчетно-графического задания. – Севастополь: СевГУ, 2016. – 16 с.
