Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Как следует из теоремы 13.1, матрица линейного оператора зависит от базиса пространства. Как подобрать этот базис, чтобы матрица линейного оператора в нем имела наиболее простой вид? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теоремa 14.1. Для того чтобы матрица линейного оператора A: R ⁿ ® R ⁿ в некотором базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов линейного оператора A.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица линейного оператора A в некотором базисе е ^l, е ²,…, е ⁿ диагональная, т. е.

.

Тогда, очевидно, справедливы равенства Aе ^j = L е ^j = l_j е ^j, j = 1, 2,…, n, из которых следует, что l_j – собственные значения, а е ^j – соответствующие им собственные векторы оператора A.

Достаточность. Предположим, что базис пространства состоит из собственных векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ, а l ₁, l ₂,…, l_n – соответствующие им собственные значения оператора A. Тогда Ax ^j = l_j x ^j, j = 1, 2,…, n. Отсюда следует, что L = = diag (l ₁, l ₂,…, l_n) – матрица линейного оператора A в базисе x ¹, x ²,…, x ⁿ. ¨

Определение 14.1. Если существует базис пространства R ⁿ, состоящий из собственных векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ линейного оператора A: R ⁿ ® R ⁿ с матрицей А в некотором базисе пространства R ⁿ, и Т – матрица перехода от этого базиса к базису x ¹, x ²,…, x ⁿ, то справедливо равенство

L = Т ^–1АТ, (14.1)

где L – диагональная матрица с собственными значениями, соответствующими собственным векторам оператора A, на главной диагонали. В этом случае матрица А линейного оператора A называется диагонализируемой.

Пример 1. Привести к диагональному виду матрицу

.

Решение. Для этой матрицы в примере 1 из §12.2 найдены собственные векторы x ¹ = (–1, 1, 1), x ² = (11, 1, –14)и x ³ = (1, 1, 1), соответствующие собственным значениям l ₁ = 1, l ₂ = – 2 и l ₃ = 3. Поскольку все собственные значения попарно различны, векторы x ¹, x ², x ³ образуют базис пространства R ³ согласно теореме 12.1. Значит, согласно определению 14.1 матрица А диагонализируема.

Составим матрицу перехода Т к базису x ¹, x ², x ³, столбцами которой будут координаты данных базисных векторов.

откуда

Тогда

diag (1, – 2, 3).·

Автор статьи

Анастасия

Задать вопрос

Эксперт