от произвольных функций
В предыдущем параграфе рассматривались признаки сходимости (признаки сравнения) несобственных интегралов 
рода 
от положительных (или отрицательных) функций 
.
Если функция 
, начиная с какого — то места 
, имеет значения одного знака 
, то на промежутке 
эта функция является положительной (или отрицательной), и для исследования сходимости несобственного интеграла 
, а значит и 
, также можно применять признаки сравнения.
Если же подынтегральная функция не сохраняет знак ни на каком промежутке вида 
, где 
, то эти признаки сходимости уже не применимы.
В этом параграфе рассматриваются несобственные интегралы 
рода 
, где функция 
является знакопеременной при 
, т.е. на любом промежутке вида 
, где 
, функция 
меняет знак (как, например, функция 
или 
).
Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
Определение. Несобственный интеграл 
называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл 
.
Для положительных функций 
понятие сходимости несобственного интеграла от этих функций совпадает с понятием абсолютной сходимости, т.к. 
.
Что можно сказать о сходимости несобственного интеграла 
,
если известно, что он сходится абсолютно? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл – сходится. Другими словами:
если 
– сходится абсолютно, то 
– сходится.
Доказательство.
Имеем неравенства:
⇒ 
∙ 
.
Так как интеграл 
— сходится, то по свойству линейности интеграл 
∙ 
— также сходится.
Для положительных функций 
и 
∙ 
можно применить первый признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:
— сходится ⇒ 
— сходится.
Так как 
, то из сходимости интегралов
и 
по свойству линейности следует
сходимость интеграла 
. Теорема доказана.
Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости несобственного интеграла не следует его абсолютная сходимость. Это означает, что абсолютная сходимость — более сильное свойство, чем просто сходимость. Подробнее об этом изложено чуть ниже.
Рассмотрим некоторые свойства абсолютно сходящихся интегралов.
Теорема 1. Пусть 
, где 
. Тогда
если 
— сходится, то 
— сходится абсолютно.
Доказательство.
Для положительных функций 
и 
можно применить первый признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:
— сходится ⇒ 
— сходится.
Это означает, что интеграл 
— сходится абсолютно
(по определению). Терема доказана.
Теорема 2. Рассмотрим несобственный интеграл 
,
где 
— ограниченная функция на промежутке 
.
Пусть несобственный интеграл 
— сходится абсолютно. Тогда несобственный интеграл 
— также сходится абсолютно.
Доказательство.
Так как 
— ограниченная функция, то 
для некоторого числа 
. Следовательно:
∙ 
∙ 
.
Далее: 
— сходится ⇒ 
– сходится (по свойству линейности) ⇒ 
– сходится (первый признак сравнения) ⇒ 
— сходится абсолютно. Теорема доказана.
Пример.
Покажем, что 
, 
— сходятся абсолютно 
.
Действительно, имеем: 
.
— сходится, т.к. 
. следовательно,
по Теореме 1 несобственный интеграл 
— сходится абсолютно. Аналогичный факт имеем и для несобственного интеграла 
.
Пример.
Покажем, что несобственные интегралы: 
, 
, где 
, 
, 
— сходятся абсолютно.
Пусть 
, 
или 
.
— ограниченная функция на промежутке 
. Так как 
– это сходящийся «эталонный» интеграл (
), то по Теореме 2 несобственный интеграл
— сходится абсолютно.
Условная сходимость несобственных интегралов.
Определение. Несобственный интеграл 
называется условно сходящимся, если этот интеграл сходится, а интеграл от модуля функции: 
— расходится.
Другими словами, если несобственный интеграл 
— сходится, но абсолютной сходимости этого интеграла – нет, то такой интеграл называется условно сходящимся.
Примерами условно сходящихся несобственных интегралов будут интегралы Дирихле:
, 
, где 
.
Покажем это.
Применим к этим интегралам формулу интегрирования по частям.
.
.
Несобственные интегралы 
и 
– это частные случаи рассмотренных выше интегралов вида 
, 
.
Эти интегралы сходятся (абсолютно), т.к. 
(
). Следовательно, интегралы Дирихле: 
, 
, (
) — также сходятся.
Теперь покажем, что абсолютной сходимости этих интегралов — нет, т.е. что интегралы: 
, 
— расходятся.
Рассмотрим интеграл 
. Предположим, что он сходится. Так как 
, то по первому признаку сравнения сходится и интеграл 
. кроме того, как показано выше, сходится и интеграл 
.
Тогда сумма двух сходящихся интегралов по свойству линейности также сходится:
, но интеграл 
, как известно, расходится.
Полученное противоречие показывает, что на самом деле несобственный интеграл 
— расходится. Аналогично доказывается, что 
— расходится.
Таким образом, доказано, что интегралы Дирихле сходятся условно.
Очевидно, что сходятся условно и интегралы вида:
, 
, где 
, 
, 
.
Замечание. Вместо несобственного интеграла 
, где 
— можно рассмотреть несобственный интеграл 
, который также сходится условно. Действительно: 
, а интеграл 
— является собственным (определенным) интегралом, так как подынтегральная функция 
— ограничена на 
.
Замечание. Используя сходимость интегралов Дирихле, вводятся неэлементарные функции интегральный синус 
и интегральный косинус 
:
, 
, 
.
Значения этих функций задаются в специальных таблицах.
Условная сходимость некоторых несобственных интегралов вида
— может быть установлена с помощью признаков Абеля и Дирихле, которые мы приведем без доказательства.
Теорема (признак Абеля).
Пусть выполнены следующие условия:
) несобственный интеграл 
— сходится (условно или абсолютно) .
) функция 
— монотонна и ограничена на промежутке 
.
Тогда несобственный интеграл 
— сходится.
Теорема (признак Дирихле).
Пусть выполнены следующие условия:
) интегралы 
— ограничены при значениях 
.
) функция 
— монотонна и стремится к нулю при 
.
Тогда несобственный интеграл 
— сходится.
Замечание. В признаке Дирихле первое условие — более слабое, чем в признаке Абеля, так как в нем не требуется сходимость несобственного интеграла 
. но второе условие — более сильное, так как вместо ограниченности функции 
требуется стремление ее к нулю при 
.
Пример. Рассмотрим несобственные интегралы:
, 
, где 
, 
, 
, 
.
Применим признак Дирихле.
Здесь 
или 
, 
. 
при 
.
или 
.
∙ 
∙ 
.
∙ 
⇒ интегралы 
— ограничены при значениях 
. аналогично и для интеграла 
.
По признаку Дирихле эти интегралы сходятся. Покажем, что они сходятся условно.
Так как 
, то 
.
Далее имеем: 
— расходится .
по первому признаку сравнения интеграл 
— также расходится . следовательно, расходится и интеграл 
, где 
.
Аналогично и для интеграла 
. Значит, эти несобственные интегралы сходятся условно.
Можно показать, что при 
несобственные интегралы:
, 
— расходятся.
Таким образом, получаем следующий результат:
| Рис. Условия сходимости несобственных интегралов |
   |
 условно при  |
 при  |
 абсолютно при  |
§ 5. Несобственные интегралы 2 рода
В этом параграфе рассматриваются функции, заданные на конечном промежутке и не ограниченные на этом промежутке.
Если функция в некоторых точках промежутка не определена, то ее можно в этих точках доопределить какими-нибудь значениями . тем самым функция будет определена уже на всем промежутке. При этом изменение значений функции в нескольких точках, как известно, не меняет значение определенного интеграла и не влияет на интегрируемость функции.
В дальнейшем будет указываться весь промежуток, на котором рассматривается функция . а точки, в которых она не ограничена (или не определена), будут называться особыми точками.
Пусть функция 
определена на промежутке 
и не ограничена на нем. Предположим, что единственной особой точкой на этом промежутке является правый конец промежутка — точка 
.
При этом считаем, что на любом промежутке вида 
, где 
— достаточно малое положительное число, функция 
интегрируема.
Рассмотрим определенный интеграл 
и поставим вопрос о существовании предела:
.
Этот предел может быть конечным или бесконечным, а может и вовсе не существовать.
Определение.
Несобственным интегралом 
рода от функции 
на промежутке 
называется выражение 
.
Это выражение имеет конкретное значение, равное пределу 
, если этот предел существует и конечен:
.
в этом случае говорят, что несобственный интеграл 
— сходится.
В случае бесконечного предела: 
— выражению 
также приписывают значение 
. в этом случае говорят, что несобственный интеграл 
— расходится: 
.
Если предел 
— не существует, то и в этом случае говорят, что несобственный интеграл 
— расходится, а выражению 
не приписывают никакого значения.
Аналогично определяется несобственный интеграл 
рода в случае, когда единственной особой точкой является левый конец промежутка — точка 
:
.
Пример.
) 
⇒
несобственный интеграл сходится и равен 
.
) 
| Рис. К геометрическому смыслу несобственного интеграла 2 рода |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
⇒ несобственный интеграл сходится и равен 
.
Геометрический смысл
несобственного интеграла 
рода.
Если 
на 
, то
несобственный интеграл 
равен площади бесконечной
(неограниченной сверху) криволинейной
трапеции, ограниченной графиком
функции 
, прямыми
, 
и осью абсцисс (см. рис.)
При этом сходящийся
несобственный интеграл задает
конечную площадь, а расходящийся –
бесконечную площадь.
Если оба конца промежутка 
являются особыми точками, то разбиваем этот промежуток на два промежутка произвольной точкой 
:
и рассматриваем несобственный интеграл с двумя особыми точками как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой каждый:
.
Тогда несобственный интеграл 
называется сходящимся, если сходятся оба интеграла этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл 
называется расходящимся.
Пример.
.
Рассмотрим первое слагаемое: 
. 
— расходится ⇒
несобственный интеграл 
— также расходится.
Если имеется единственная особая точка 
, которая лежит внутри промежутка 
, то также разбиваем этот промежуток на два промежутка:
и рассматриваем несобственный интеграл как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой 
каждый:
.
Тогда несобственный интеграл 
называется сходящимся, если сходятся оба интеграла этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл 
называется расходящимся.
Пример.
.
Рассмотрим второе слагаемое:
.
— расходится ⇒ 
— также расходится.
Пример.
.
Первое слагаемое:
∙ 
.
Второе слагаемое:
∙ 
.
Оба интеграла сходятся . следовательно, несобственный интеграл
сходится и равен 
.
Если функция 
имеет на промежутке 
несколько особых точек, то разбиваем промежуток 
на такие частичные промежутки, в каждом из которых есть только одна особая точка . далее рассматриваем несобственный интеграл как сумму несобственных интегралов по каждому из этих промежутков.
В этом случае несобственный интеграл 
называется сходящимся, если сходятся все интегралы этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл 
называется расходящимся.
Исследование сходимости несобственного интеграла
, где 
.
При 
данный несобственный интеграл расходится . действительно:
.
Пусть 
, тогда имеем:
∙ 
.
Если 
, то 
и 
при 
. в этом случае несобственный интеграл 
— расходится.
Если 
, то 
и 
при 
. в этом случае несобственный интеграл сходится и равен: 
. 
Таким образом, получаем:
Рис. Условие сходимости несобственного интеграла  |
  |
 при  |
 при  |
Геометрический смысл этого результата заключается в следующем.
Площадь бесконечной криволинейной трапеции «под кривой» 
на промежутке 
является конечной при 
и бесконечной при 
(см. рис.)
Рис. Геометрический смысл условия сходимости несобственного интеграла  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Это различие объясняется тем, что графики одних функций «теснее прижимаются» к оси 
, чем графики других функций. «Границей» между этими множествами кривых является график функции 
, который ограничивает криволинейную трапецию бесконечной площади.
Пример.
Найдемплощадь 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
на промежутке 
, где 
.
∙ 
∙ 
⇒ 
(см. рис.)
Например: 
, 
, 
.
§ 6. Простейшие свойства и вычисление
несобственных интегралов 
рода.
Несобственные интегралы 
рода обладают теми же свойствами, что и несобственные интегралы 
рода. Сформулируем эти свойства, например, для случая, когда единственной особой точкой является правый конец промежутка 
, т.е. точка 
.
Аддитивность.
Если сходится несобственный интеграл 
, то 
сходится и несобственный интеграл 
, при этом выполняется равенство:
.
Линейность.
Если сходятся несобственные интегралы 
и 
, то сходится и несобственный интеграл 
, 
, при этом справедливо равенство:
∙ 
∙ 
.
Если несобственный интеграл 
— сходится, то
.
Методы вычисления несобственных интегралов 
рода.
Вычисление несобственных интегралов 
рода основано на тех же формулах, что и вычисление несобственных интегралов 
рода.
Формула Ньютона-Лейбница:
,
где 
— первообразная для функции 
на 
и 
.
Например:
.
Интегрирование по частям: 
.
Пример.
∙ 
.
Замена переменной: 
.
Пример.
.
§ 7. Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
В случае, когда вычисление несобственного интеграла 
рода 
невозможно или затруднительно, для решения вопроса о существовании (сходимости) этого несобственного интеграла применяются признаки сходимости.
Признаки сходимости для несобственных интегралов 
рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов 
рода.
Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы
рода 
, где точка 
является единственной особой точкой промежутка 
. Признаки сходимости, которые будут установлены для них, переносятся и на другие типы несобственных интегралов 
рода.
Признаки сходимости для положительных функций.
Пусть 
(или, по крайней мере 
, где 
— достаточно малое положительное число).
Сходимость несобственного интеграла 
от положительной функции 
равносильна ограниченности соответствующих определенных интегралов:
— сходится ⇔ 
: 
.
Признаки сравнения.
Рассмотрим несобственные интегралы 
рода от положительных функций:
, 
, где 
, 
.
Теорема 1 (первый признак сравнения).
Пусть 
. Тогда
) из сходимости 
следует сходимость 
и справедлива оценка: 
.
) из расходимости 
следует расходимость 
.
Пример.
Исследуем сходимость несобственного интеграла 
.
Здесь 
— положительная функция на 
,
— особая точка, 
.
несобственный интеграл 
– сходится (см. Пример выше).
По первому признаку сравнения интеграл 
— также сходится.
Теорема 2 (второй признак сравнения).
Пусть 
, 
и существует предел
.
Тогда оба интеграла 
и 
— сходятся или оба интеграла расходятся, т.е. если один из них сходится, то и другой сходится, а если один из них расходится, то и другой расходится.
Пример.
Исследуем сходимость несобственного интеграла 
.
Здесь 
— положительная функция на 
,
— особая точка . 
∙ 
.
Применим второй признак сравнения . для этого в качестве функции 
можно взять функцию 
, т.к. 
.
Тогда имеем: 
∙ 
⇒ 
— сходится .
по второму признаку сравнения 
— также сходится.
Признаки сходимости для произвольных функций.
Рассмотрим несобственные интегралы 
рода 
, где функция 
является знакопеременной при 
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
