X-PDF

Признаки возрастания и убывания функции

Поделиться статьей

Раздел 5. Дифференциальное исчисление.

Исследование функции с помощью производной

Признаки возрастания и убывания функции

Теорема 1. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция возрастает на этом ин­тервале.

Теорема 2. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция убывает на этом интервале.

Замечание. Если функция f монотонна на интервале (а, b) и непре­рывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [ а, b ]. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции.

Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерыв­ны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 1 имеются три критические точки а, с, е.

Пример 1. Найти интервалы монотонного изменения функции

Представленная информация была полезной?
ДА
58.38%
НЕТ
41.62%
Проголосовало: 949

Решение. Найдем производную функции: y = x 2 + 5 x + 6.

Эта функция непрерывна. Что­бы найти критические точки, при­равняем производную к нулю и найдем корни полученного уравнения:

у = х 2 + 5 х + 6 = 0 у = (х + 3)·(х + 2) = 0 х 1= — 3 . х 2 = — 2.

Разобьем числовую прямую на интервалы: (- , -3) . (-3, -2) . (-2, + ).

Определим знак производной в каждом из интервалов. Учиты­вая, что в силу непрерывности функция у в каждом интервале не меняет знака (см. таблицу), мо­жем построить график данной функции (рис. 2).

x (- , -3) -3 (-3,-2) -2 (-2, + )
y’ +     +
Y возрастает   убывает   возрастает
    max   min  

Рассмотрим случай, когда на отрезке [ а, b ]производная функции равна нулю. Это означает, что функция у = f(x) постоянна на этом от­резке.

Если функции f(х) и φ(х) имеют на отрезке [ а, b ] равные производ­ные f (x) = φ(х), то они отличаются на этом отрезке лишь постоянным слагаемым.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.38%
НЕТ
41.62%
Проголосовало: 949

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет