Теорема. Если функция 
строго монотонна на интервале 
и имеет ненулевую производную 
в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция 
также имеет производную 
, в соответствующей точке, определяемую равенством 
или 
.
Пример. Рассмотрим функцию 
. Найдем ее производную.
Решение. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найдем производную 
. Функция, обратная к исходной, имеет вид: 
. Находим производную обратной функции: 
. Следовательно,
Получили, что 
.
Вопрос. Дана функция 
. Производная 
равна
Начало формы
 |
|
 |
|
 |
|
1/ey+2y
Конец формы
Дифференцируемость функции.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Пусть функция 
имеет в точке 
отличную от нуля производную, то есть
.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать
, где 
при 
,
или 
.
Таким образом, приращение функции 
представляет собой сумму двух слагаемых 
и 
, которые являются бесконечно малыми функциями при 
. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с 
, а второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем 
. Поэтому первое слагаемое 
называется главной частью приращения функции 
или дифференциалом функции 
в точке 
.
Определение 1. Функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если её приращение 
в этой точке можно представить в виде:
где 
некоторое число, не зависящее от 
, причем 
, а 
при 
, то есть 
.
Понятия дифференцируемости функции в точке и существования производной в этой же точке тесно связаны между собой. Для функции одной переменной эти понятия являются равносильными.
Теорема 1. Для того чтобы функция 
, была дифференцируема в точке 
, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Определение 2. Функция 
называется дифференцируемой на отрезке 
, если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка.
Теорема 2. Если функция 
дифференцируема в некоторой точке 
, то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, то есть не иметь конечной производной в этой точке.
В точках разрыва (точках, в которых функция не является непрерывной) функция не может иметь производную, поэтому в таких точках функция не дифференцируема.
Пример 1. Функция 
имеет точку разрыва 
, следовательно, в этой точке она не дифференцируема.
Пример 2. Функция 
не имеет точек разрыва, но в точке 
не имеет конечной производной, так как
.
Следовательно, в точке 
функция 
является непрерывной, но не дифференцируемой.
Вопрос. Какая из этих функций не дифференцируема в точке 
?
Начало формы
 |
|
 |
|
 |
|
 |
