В этой статье дадим основные понятия, на которых будет базироваться вся дальнейшая теория по теме производная функции одной переменной.
Путь x – аргумент функции f(x) и 
— малое число, отличное от нуля.
(читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения 
(отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).
При переходе от значения аргумента 
к 
значения функции изменяются соответственно от 
до 
при условии монотонности функции на отрезке 
. Разность 
называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.
Определение производной функции в точке.
Пусть функция f(x) определена на промежутке (a . b), 
и 
— точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 
. Обозначается 
.
Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.
Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке 
, когда она имеет в ней конечную производную.
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a . b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a . b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке 
, то есть, мы имеем возможность определить новую функцию 
, которую называют производной функции f(x) на интервале (a . b).
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.
https://www.cleverstudents.ru/derivative/derivative_basic_definitions_and_conceptions.html
Свойства производной
Пусть функции 
и 
имеют производные в точке 
. Тогда существуют производные в левых частях следующих равенств и имеют место соотношения:
1) 
.
2) 
.
3) 
.
https://kma.imkn.urfu.ru/Method/math_an_1/modules/part_7.html
