Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, то есть задана функция u (x, y, z). Возьмем точку P (x, y, z) и какой-нибудь луч λ, из нее выходящий. Направление этого луча зададим углами α, β, γ, которые он образует с направлениями осей O_x, O_y, O_z (рис. 1.1.)

 

Рис. 1.1. Направление луча, относительно осей координат

 

Если e_λ — единичный вектор, направленный по лучу λ, то его проекциями будут направляющие косинусы e_λ {cos α, cos β, cos γ}.

Пусть точка P₁(x₁, y₁, z₁) лежит на луче λ . расстояние PP₁ обозначим через ρ. Проекции вектора  на оси координат будут, с одной стороны, равны ρ cos α, ρ cos β, ρ cos γ, а с другой стороны, — разностям x₁-x, y₁-y и z₁-z. Следовательно , , .

Рассмотрим теперь приращение функции при переходе из точки Р в точку Р₁: .

если точка Р₁ будет изменять свое положение на луче λ, то в выражении для разности u(P₁) — u(P) будет меняться только величина ρ. Составим отношение  и перейдем к пределу при ρ→0, предполагая, что этот предел существует.

Определение. Предел

 

 

называется производной от функции u (x, y, z) по направлению λ в точке Р.

Этот предел будем обозначать символом  или . Величина его зависит от выбранной точки P (x, y, z) и от направления луча λ, то есть от α, β, γ.

Если точка Р фиксирована, то величина производной  будет зависеть только от направления луча λ.

Из определения производной по направлению следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением оси O_x, то есть , то предел будет просто равен частной производной от функции u (x, y, z) по x:

 

.

 

Аналогичную картину получим, если направление λ будет совпадать с направлениями осей O_y и O_z.

Подобно тому как частные производные  и  характеризуют скорость изменения функции u в направлении осей координат, так и производная по направлению  будет являться скоростью изменения функции u (x, y, z) в точке Р по направлению луча λ. Абсолютная величина производной  по направлению λ определяет величину скорости, а знак производной — характер изменения функции u (возрастание или убывание).

Вычисление производной по направлению производится при помощи следующей теоремы:

Теорема. Если функция u (x, y, z) дифференцируема, то её производная  по любому направлению λ существует и равна

 

 

где  — направляющие косинусы луча λ.

Из этой формулы непосредственно следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением одной из осей координат, то производная по этому направлению равна соответствующей частной производной, например, если  то .

Из формулы видно, что производная по направлению λ, противоположному λ, равна производной по направлению λ, взятой с противоположным знаком. Действительно, при перемене направления углы α, β и γ изменятся на π и

 

 

Это означает, что при перемене направления на противоположное абсолютная величина скорости изменения функции u не меняется, а изменяется только характер её изменения . если, например, в направлении λ функция возрастает, то в направлении λ она убывает, и наоборот.

Если поле плоское, то направление луча λ вполне определяется углом α его наклона к оси абсцисс. Формулу для производной по направлению в случае плоского поля можно получить из общей формулы, положив . Тогда .

Если α=0, то , а если , то .

 

Градиент

Рассмотрим снова формулу для производной по направлению

 

 

Вторые множители в каждом слагаемом являются, как мы уже отмечали, проекциями единичного вектора е_λ, направленного по лучу λ:

Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных  в выбранной точке P (x, y, z). Назовем этот вектор градиентом функции u (x, y, z) и будем обозначать его символами grad u или ∇u.

Определение. Градиентом функции u (x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, то есть

 

 

Проекции градиента зависят от выбора точки P (x, y, z) и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией поля u (x, y, z), соответствует определенный вектор — градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции u=ax+by+cz+d есть постоянный вектор: grad u=ai+bj+ck.

Пользуясь определением градиента, формуле для производной по направлению можно придать такой вид:

Следовательно:

Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Так скалярное произведение равно модулю одного вектора, умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что:

Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, то есть

 

 

где φ — угол между вектором grad u и лучом λ (рис. 1.2.). Отсюда сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , то есть при . Это наибольшее значение равно |grad u|.

 

Рис. 1.2. Проекция градиента на направление дифференцирования

 

Итак, |grad u| есть наибольшее возможное значение производной  в данной точке Р, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки Р, то есть направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. Ясно, что в противоположном направлении функция u будет быстрее всего убывать.

Теорема. Направление градиента функции u (x, y, z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку (рис. 1.3).

 

Рис. 1.3. Направление градиента

 

Градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, то есть его проекция на эту плоскость равна нулю. Следовательно:

Производная по любому направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.

Укажем теперь некоторые свойства градиента функции, часто облегчающие его вычисление.

 

1) grad (u₁+u₂)=grad u₁+grad u₂.

2) grad Cu₁=C grad u₁, где С — постоянная.

3) grad u₁u₂=u₂grad u₁+u₁grad u₂.

4) grad f(u)=f(u) grad u.

Перечисленные свойства градиента показывают, что правила его отыскания, совпадают с правилами отыскания производной функции.

В плоском поле u=u (x, y) градиент

 

 

лежит в плоскости O_xy и перпендикулярен к линии уровня.

    Если в плоском поле построена достаточно густая сетка линий уровня (рис. 1.4.), то можно с некоторым приближением графически определить модуль и направление градиента.

 

Рис. 1.4. Направление градиента в плоском поле

 

Направление градиента будет перпендикулярно к линии уровня. Производная в этом направлении будет при достаточно малом h приближенно равна

 

 

где Р_о — точка линии уровня u (x, y)=C, a P — точка линии уровня u (x, y)=C+h. Величина h известна, а длина отрезка Р_оР может быть измерена на чертеже как расстояние по нормали между соседними линиями уровня. Производная же по направлению градиента равна его модулю, и поэтому

 

Векторное поле