Определение. Собственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых на плоскости, проходящих через данную точку (называемую центром пучка).
Пусть 
– центр пучка (известен).
Пусть 
– уравнение 
.
Т.к. 
, то 
. (6.1)
(6.1) – уравнение пучка (прямой, проходящей через данную точку 
).
2) Пусть центр пучка неизвестен. Если 
и 
и 
(
)
(
)
и 
.
Тогда уравнение
(6.2)
при условии
(6.3)
определяет некоторую прямую из 
, и, следовательно, является уравнением пучка прямых.
Действительно, соотношение (6.2) 
, (6.4)
т.е. является уравнением вида 
, т.е уравнением некоторой прямой 
, причем 
.
(Если 
, то это означает, что 
и 
, т.е. справедлива система соотношений
,
которая в силу условия (6.3) обязана иметь ненулевое решение. А это означает, что определитель этой системы должен быть равен нулю:
.
А это равносильно условию
,
и, следовательно, 
. Получили противоречие. Значит, действительно 
и уравнение (6.2) определяет прямую).
Кроме того, если 
– точка пересечения прямых 
и 
, т.е. центр пучка, то 
, т.к.
, 
и поэтому
|
|
|
,
следовательно, 
.
Замечание: Уравнение (6.2) зависит не от самих 
и 
, а от их отношения.
Если 
, то (6.2) при 
. (6.5)
Соотношение (6.5) – уравнение прямой 
собственного пучка.
Если 
, если же 
.
Определение. Несобственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых плоскости, параллельных некоторой прямой.
Пусть прямая 
(
)
определяет несобственный пучок прямых и 
(
)
Т. к. 
, то 
и 
. (*)
Умножим теперь обе части уравнения прямой 
на 
:
.
В силу соотношений (*) при 
получаем
. 
(6.6)
Таким образом, если прямая 
задана общим уравнением и определяет несобственный пучок прямых, то уравнение произвольной прямой 
этого пучка, не совпадающей с прямой 
, отличается от уравнения прямой 
только значением свободного члена.
