9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов
.
Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов — действительные числа,
,
. Рациональная функция (дробь) называется правильной, если
. если
, рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени
и правильной дроби:
,
. нахождение целой части
и остатка
может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления уголком. В дальнейшем будем предполагать, что
— правильная дробь.
Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:
I. ![]() |
II. ![]() |
III. ![]() |
IV. ![]() |
9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде ,
. Тогда дробь
единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры
.
Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые на примере. Дана функция . Здесь
,
. После деления уголком получим
. Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде
, (*) где
— неизвестные пока коэффициенты (неопределённые коэффициенты). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:
= . Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители:
Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение , получим
. Если подставить в это равенство корни трёхчлена
, будут определены
и
. Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях
:
.
Коэффициенты при степенях справа и слева от знака равенства:
Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Окончательно, функция
представляется в виде
. В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях
, т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)